高二数学人教a必修5练习：第二章数列过关检测word版含解析 7页

第二章过关检测 (时间:90 分钟 满分:100 分) 知识点分布表 知识点 等差数列的有关计算及 性质 等差数列前 n 项 和 等比数列的有关计算及 性质 等比数列前 n 项和 综合应用 相应题 号 3,5,7,12 1,8,9,15 2,4 11 6,10,13,14,16,17,18 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.在等差数列{an}中,S10=120,则 a1+a10 的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 答案:B 解析:S10= 10 ( 1+10 ) 2 =120 解得,a1+a10=24. 2.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4=( ) A.8 B.-8 C.±8 D.以上都不对 答案:A 解析:由已知得 a2+a6=34,a2·a6=64,所以 a2>0,a6>0,则 a4>0. 又 4 2 =a2·a6=64,∴a4=8. 3.如果 f(n+1)= 2 ( ) +1 2 (n=1,2,3,…)且 f(1)=2,则 f(101)等于( ) A.49 B.50 C.51 D.52 答案:D 解析:∵f(n+1)= 2 ( ) +1 2 =f(n)+ 1 2 , ∴f(n+1)-f(n)= 1 2 , 即数列{f(n)}是首项为 2,公差为 1 2 的等差数列. ∴通项公式为 f(n)=2+(n-1)× 1 2 1 2 n+ 3 2 . ∴f(101)= 1 2 ×101+ 3 2 =52. 4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2答案:A 解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)= 5 6 =50, ∴ 5 3 =5 2 . 又 a4a5a6=(a4a6)·a5= 5 3 , 故选 A. 5.若数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-2,则使 ak·ak+1<0 的 k 值为( ) A.22 B.21 C.24 D.23 答案:D 解析:因为 3an+1=3an-2,所以 an+1-an=- 2 3 ,所以数列{an}是首项为 15,公差为- 2 3 的等差数列,所以 an=15- 2 3 (n-1)=- 2 3 n+ 47 3 ,由 an=- 2 3 n+ 47 3 >0,得 n<23.5,所以使 ak·ak+1<0 的 k 值为 23. 6.若数列{an}满足 an+1=1- 1 ,且 a1=2,则 a2 012 等于 ( ) A.-1 B.2 C. 2 D. 1 2答案:D 解析:∵an+1=1- 1 ,a1=2, ∴a2=1- 1 2 1 2 ,a3=1-2=-1,a4=1- 1 - 1 =2. 由此可见,数列{an}的项是以 3 为周期重复出现的,∴a2 012=a670×3+2=a2= 1 2 . 7.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( ) A.0 B.3 C.8 D.11 答案:B 解析:{bn}为等差数列,公差 d= 10 - 3 10 - 3 =2, ∴bn=b3+2(n-3)=2n-8. ∴an+1-an=2n-8. ∴a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7) =3+(-6)+(-4)+…+6 =3+ 7× (- 6+6 ) 2 =3. 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2, am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1. ∵Sm=ma1+ ( - 1 ) 2 ×1=0, ∴a1=- - 1 2 . 又∵am+1=a1+m×1=3, ∴- - 1 2 +m=3. ∴m=5.故选 C. 9.等差数列{an}中,已知 3a5=7a10,且 a1<0,则数列{an}前 n 项和 Sn(n∈N*)中最小的是( ) A.S7 或 S8 B.S12 C.S13 D.S14 答案:C 解析:由 3a5=7a10 得 3(a1+4d)=7(a1+9d),解得 d=- 4 51 a1>0. 所以 an=a1+(n-1)d=a1-(n-1)× 4 51 a1, 由 an=a1-(n-1)× 4 51 a1≤0, 即 1- 4 ( - 1 ) 51 ≥0,解得 n≤ 55 4 =13 3 4 , 即当 n≤13 时,an<0. 当 n>13 时,an>0,所以前 13 项和最小,所以选 C. 10.(2015 河南南阳高二期中,12)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n+1;bn=(-1)nan(n∈N*);则数列{bn}的前 50 项和为( ) A.49 B.50 C.99 D.100 答案:A 解析:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n+1, ∴a1=S1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, 故 an= 3 , 1 , 2 , ≥ 2 . ∴bn=(-1)nan= - 3 , 1 , (- 1 ) · 2 , ≥ 2 , ∴数列{bn}的前 50 项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.已知数列{an}中,an=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn= . 答案: 3 ( 9 - 1 ) 4解析:∵数列{an}是等比数列, ∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为 6,公比为 9. ∴其前 n 项和 Sn= 6 ( 1 - 9 ) 1 - 9 3 ( 9 - 1 ) 4 . 12.正项数列{an}满足: a1=1,a2=2,2 2 +1 2 + - 1 2 (n∈N*,n≥2),则 a7= . 答案: 19解析:因为 2 2 +1 2 + - 1 2 (n∈N*,n≥2), 所以数列{ 2 }是以 1 2 =1 为首项, 以 d= 2 2 1 2 =4-1=3 为公差的等差数列. 所以 2 =1+3(n-1)=3n-2. 所以 an= 3 - 2 ,n≥1. 所以 a7= 3 × 7 - 2 19 . 13.(2015 江西吉安联考,13)已知数列{an}满足 anan+1an+2an+3=24,且 a1=1,a2=2,a3=3,则 a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014= . 答案:5 033 解析:∵数列{an}满足 anan+1an+2an+3=24, ∴a1a2a3a4=24, a4= 24 123 24 1×2×3 =4, ∵anan+1an+2an+3=24, ∴an+1an+2an+3an+4=24, ∴an+4=an, ∴数列{an}是以 4 为周期的周期数列, 2 014=503×4+2, ∴a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014 =503×(1+2+3+4)+1+2=5 033. 14.(2015 山东省潍坊四县联考,14)已知数列{an}满足 a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·an= 2 ,则 an= . 答案: 1 2×3 - 1 解析:∵a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·an= 2 , ∴当 n≥2 时,a1+3·a2+32·a3+…+3n-2·an-1= - 1 2 , 两式相减得 3n-1·an= 2 - 1 2 1 2 , 即 an= 1 2×3 - 1 ,n≥2, 当 n=1 时,a1= 1 2 ,满足 an= 1 2×3 - 1 , 故 an= 1 2×3 - 1 . 三、解答题(本大题共 4 小题,15、16 小题每小题 10 分,17、18 小题每小题 12 分,共 44 分) 15.(2015 河南郑州高二期末,17)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 的最大值. 解:(1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得, 1 + 2 5 , 1 + 9 - 9 , 解得 1 9 , - 2 . 数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知 Sn=na1+ ( - 1 ) 2 d=10n-n2. 因为 Sn=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值 25. 16.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解:(1)由题意得 5a3·a1=(2a2+2)2, 即 d2-3d-4=0. 故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11. 则当 1≤n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- 1 2 n2+ 21 2 n. 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =-Sn+2S11 = 1 2 n2- 21 2 n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= - 1 2 2 + 21 2 , 1 ≤ ≤ 11 , 1 2 2 - 21 2 + 110 , ≥ 12 . 17.(2015 福建省宁德市五校联考,21)已知数列{an}中,a1=3,an+1=4an+3. (1)试写出数列{an}的前三项; (2)求证:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=log2(an+1),记数列 1 +1 的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的取值范围. 解:(1)∵a1=3,an+1=4an+3, ∴a1=3,a2=15,a3=63. (2)∵ +1+1 +1 4+3+1 +1 =4, ∴数列{an+1}是公比为 4 的等比数列. ∴an+1=(a1+1)·4n-1=4n, ∴an=4n-1. (3)∵bn=log2(an+1)=log24n=2n, ∴ 1 +1 1 2 · 2 ( +1 ) 1 4 1 - 1 +1 , ∴Tn= 1 4 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 - 1 + 1= 1 4 1 - 1 +1 , ∵Tn= 1 4 1 - 1 +1 是关于 n(n∈N*)的单调递增函数, ∴n=1 时,(Tn)min= 1 8 ,n→+∞时,Tn→ 1 4 . ∴Tn 的取值范围是 1 8 , 1 4 . 18.(2015 山东高考,理 18)设数列{an}的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn=3n+3. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)因为 2Sn=3n+3, 所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n>1 时,2Sn-1=3n-1+3, 此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1, 即 an=3n-1,所以 an= 3 , 1 , 3 - 1 , > 1 . (2)因为 anbn=log3an,所以 b1= 1 3 , 当 n>1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n. 所以 T1=b1= 1 3 ; 当 n>1 时,Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n), 所以 3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n), 两式相减,得 2Tn= 2 3 +(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n = 2 3 + 1 - 31 - 1 - 3 - 1 -(n-1)×31-n = 13 6 6+3 2×3 , 所以 Tn= 13 12 6+3 4×3 . 经检验,n=1 时也适合. 综上可得 Tn= 13 12 6+3 4×3 .