【数学】2021届一轮复习北师大版（理）28正弦定理、余弦定理的综合应用作业 9页

正弦定理、余弦定理的综合应用 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进‎200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)‎ A．50(＋1)m B．100(＋1)m C．‎50 m D．‎100 ‎ m A　[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝‎200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．]‎ ‎2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos ‎2A＋cos 2B＝2cos ‎2C，则cos C的最小值为(　　)‎ A.　　　 B. ‎ C.　　　 D.－ C　[因为cos ‎2A＋cos 2B＝2cos ‎2C，所以1－2sin‎2A＋1－2sin2B＝2－4sin‎2C，得a2＋b2＝‎2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A．8 B．4 C．2 D. B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.]‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2c·cos B＝‎2a＋b，若△ABC的面积为S＝c，则ab的最小值为(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．14‎ C　[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0.因为sin B≠0，所以cos C＝－，C＝.由于△ABC的面积为S＝ab·sin C＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，所以ab≥12.]‎ ‎5．在△ABC中，sin B＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. A　[依题意设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，BC＝3x.因为sin B＝，所以AB＝＝3y.因为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y2＋4x2＝9y2，即x＝y.所以AC＝＝＝y.根据余弦定理得cos∠BAC＝＝＝＝－.故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．‎ ‎10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，‎ 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，‎ 在Rt△ABC中，得AB＝5，‎ 于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．‎ ‎12　[由正弦定理＝，‎ 可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.‎ 又在△ABC中，sin B＞0，∴sin A＝cos A，‎ 即tan A＝.‎ ‎∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]‎ ‎8.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．‎ 　[设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.‎ 在△ABD中，cos∠ADB＝＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.‎ 在△BDC中，＝，‎ ‎∴sin C＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．‎ ‎[解]　(1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，‎ ‎∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为.‎ ‎(2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，‎ ‎∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝.‎ 如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，‎ 则AE＝AB＝，CF＝BC＝，‎ ‎∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×＝.‎ ‎10．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵2csin B＝3atan A，‎ ‎∴2csin Bcos A＝3asin A，‎ 由正弦定理得2cbcos A＝‎3a2，‎ 由余弦定理得2cb·＝‎3a2，化简得b2＋c2＝‎4a2，‎ ‎∴＝4.‎ ‎(2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝‎4a2＝16，‎ ‎∴由余弦定理得cos A＝＝，‎ 根据基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，当且仅当b＝c时，等号成立，∴cos A≥＝.‎ 由cos A＝，得bc＝，且A∈，‎ ‎∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A.‎ ‎∵1＋tan‎2A＝1＋＝＝，‎ ‎∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤.‎ ‎∴△ABC面积的最大值为.‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝(　　)‎ A. B. C．2 D. B　[由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得b＋‎2a·＝0，‎ ‎∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥ ‎，当且仅当＝，即＝时取等号，cos B取最小值.故选B.]‎ ‎2.(2019·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)‎ A．1 255步 B．1 250步 C．1 230步 D．1 200步 A　[因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.‎ 因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.‎ 又BC＝DE，所以＝，即＝，‎ 所以HB＝30 750步，‎ 又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.]‎ ‎3.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________.‎ 　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，‎ ‎∴∠BDC＝2∠A.‎ 设AD＝DB＝x，‎ ‎∴在△BCD中，＝，‎ 可得＝.①‎ 在△AED中，＝，可得＝.②‎ 联立①②可得＝，解得cos A＝.]‎ ‎4．(2019·宁德模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且‎2c－b＝2acos B，a＝.‎ ‎(1)若c＝，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，求b－c的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵‎2c－b＝2acos B，由正弦定理得2sin C－ sin B＝2sin Acos B，‎ ‎∴2sin(A＋B)－sin B＝2sin Acos B，∴2cos Asin B＝sin B.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，‎ ‎∴cos A＝.‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ 由余弦定理得7＝b2＋3－2××b，‎ 即b2－3b－4＝0，(b－4)(b＋1)＝0，∴b＝4或b＝－1(舍去)，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×4××＝.‎ ‎(2)由(1)知A＝.由正弦定理得，＝＝＝＝2，‎ ‎∴b－c＝2 ‎＝2＝2sin.‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴＜B＜，＜B－＜，＜sin＜，‎ ‎∴b－c∈(，)．‎ ‎1.(2019·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．‎ ‎80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，‎ 所以∠DAC＝15°，‎ 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．‎ 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，‎ 由正弦定理＝，‎ 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，‎ 解得AB＝80.‎ 故图中海洋蓝洞的口径为80.]‎ ‎2.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，‎ ‎∠BAE＝∠CAE.‎ ‎(1)求线段AD的长；‎ ‎(2)求△ADE的面积．‎ ‎[解]　(1)因为c＝4，b＝2,2ccos C＝b，‎ 所以cos C＝＝.‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝，‎ 所以a＝4，即BC＝4.‎ 在△ACD中，CD＝2，AC＝2，‎ 所以AD2＝AC2＋CD2－‎2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.‎ ‎(2)因为AE是∠BAC的平分线，‎ 所以＝＝＝2，‎ 又＝，所以＝2，‎ 所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.‎ 又因为cos C＝，‎ 所以sin C＝＝.‎ 又S△ADE＝S△ACD－S△ACE，‎ 所以S△ADE＝×DE×AC×sin C＝.‎