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- 2021-06-16 发布
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高二数学导数的综合应用人教实验版(B)
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
导数的综合应用
二. 学习目标
本部分的要求一般有三个层次:第一层次主要考查导数的概念,求导的公式和求导法则;
第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等;第三层
次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等
有机地结合在一起,设计综合题,通过将新课程内容和传统内容相结合,加强了能力考查力
度,使试题具有更广泛的实际意义,更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的
方法。
三. 考点分析
1、求函数 f x 极值的步骤:
(1)导数 'f x ;
(2)方程 'f x =0 的根;
(3)检查 'f x =0 的根的左右区间对应的 'f x 的符号:若左正右负,则 f x 在
这个根处取得极大值;若左负右正,则 f x 在这个根处取得极小值。
(注:实质为‘解方程’,解关于 x 的方程 'f x =0)
2、设函数 f x 在 ,a b 上连续,在 ( , )a b 内可导,求 f x 在 ,a b 上的最值的步骤:
(1)求 f x 在 ( , )a b 内的极值;
(2)将 f x 各极值与 f a , f b 比较,确定 f x 的最大和最小值。
3、求函数 f x 的单调区间:不等式 ' 0f x 的解集为 y f x 的增区间;不等式
' 0f x 的解集为 y f x 的减区间。
(注:求函数的单调区间实质上是‘解不等式’)
4、几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,
f(x0))处的切线的斜率。
5、常见函数的导函数
(1) 1aa ax)x( (a 为常数)
(2) '( ) ln ( 0, 1)x xa a a a a 且
(3) ' 1(log ) lna x x a
(4) '( )x xe e
(5) ' 1(ln )x x
(6) '(sin ) cosx x
(7) '(cos ) sinx x
【典型例题】
例 1. 已知函数 cbxaxxxf 23)( 在 2x 处有极值,其图象在 1x 处的切线平
行于直线 23 xy ,试求函数的极大值与极小值的差。
解: baxxxf 23)( 2
由于 )(xf 在 2x 处有极值 ∴ 0)2( f
即 0412 ba ①
又∵ 3)1( f ∴ 332 ba ②
由①②得 0,3 ba
∴ cxxxf 23 3)(
令 063)( 2 xxxf ,得 2,0 21 xx
由于在 )0,(x , ),2( x 时, 0)( xf
)2,0(x 时, 0)( xf
∴ )0(f 是极大值, )2(f 是极小值
∴ 4)2()0( ff
例 2. 已知 cxbxaxxf 23)( 在区间[0,1]上是增函数,在区间 ),1(),0,( 上是
减函数,又 .2
3)2
1( f
(Ⅰ)求 )(xf 的解析式;
(Ⅱ)若在区间 ],0[ m (m>0)上恒有 )(xf ≤x 成立,求 m 的取值范围.
解:(Ⅰ) 2( ) 3 2f x ax bx c ,由已知 (0) (1) 0f f ,
即 0
3 2 0
c
a b c
,
,解得
0
3
2
c
b a
,
.
2( ) 3 3f x ax ax , 1 3 3 3
2 4 2 2
a af
, 2a , 3 2( ) 2 3f x x x .
(Ⅱ)令 ( )f x x≤ ,即 3 22 3 0x x x ≤ ,
(2 1)( 1) 0x x x ≥ , 10 2x ≤ ≤ 或 1x≥ .
又 ( )f x x≤ 在区间 0 m, 上恒成立,
10 2m ≤ .
例 3. 函数 3 2( )f x x ax bx c ,过曲线 ( )y f x 上的点 (1, ( ))P f x 的切线方程为 y
=3x+1
(1)若 ( ) 2y f x x 在 时有极值,求 ( )f x 的表达式;
(2)在(1)的条件下,求 ( )y f x 在[-3,1]上的最大值;
(3)若函数 ( )y f x 在区间[-2,1]上单调递增,求 b 的取值范围。
解:(1)由 3 2( )f x x ax bx c 求导数得 2( ) 3 2f x x ax b 过 ( )y f x 上点
(1, (1))P f 的切线方程为:
(1) (1)( 1), ( 1) (3 2 )( 1)y f f x y a b c a b x 即 ,
而过 ( )y f x 上, (1, (1))P f 的切线方程为 3 1y x
故 3 2 3
2 1
a b
a b c
即 2 0
3
a b
a b c
( )y f x 在 x=-2 时有极值,故 ( 2)f =0 4 12a b ③
由①②③式联立解得 2, 4, 5a b c , 3 2( ) 2 4 5f x x x x
(2) 2 2( ) 3 2 3 4 4 (3 2)( 2)f x x ax b x x x x
x [ 3 2) -2
2( 2, )3
2
3
2( ,1]3
( )f x + 0 — 0 +
( )f x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
3 2( ) ( 2) ( 2) 2( 2) 4( 2) 5 13f x f 极大 ,
3(1) 1 2 1 4 1 5 4f , ( )f x 在[-3,1]上最大值为 13。
(3) ( )y f x 在区间 [-2,1]上单调递增,又 2( ) 3 2f x x ax b ,
由(1)知 2 0a b , 2( ) 3f x x bx b
依题意 ( )f x 在[-2,1]上恒有 2( ) 0, 3 0f x x bx b 即 在[-2,1]上恒成立。
①当 16
bx 时, ( ) (1) 3 0f x f b b 小 , 6b
②当 26
bx 时, ( ) ( 2) 12 2 0f x f b b 小 , b
③当 162 bx 时,
212( ) 012
b bf x 小 ,∴0≤b≤6
综合上述讨论可知,所求参数 b 的取值范围是:b≥0。
例 4. 已知函数
2
2
2 1( ) ( )1
ax af x xx
R ,其中 aR .
(Ⅰ)当 1a 时,求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f, 处的切线方程;
(Ⅱ)当 0a 时,求函数 ( )f x 的单调区间与极值.
本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的
单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.
(Ⅰ)解:当 1a 时, 2
2( ) 1
xf x x
, 4(2) 5f ,
又
2 2
2 2 2 2
2( 1) 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1)
x x x xf x x x
· , 6(2) 25f .
所 以 , 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2))f, 处 的 切 线 方 程 为 4 6 ( 2)5 25y x , 即
6 2 32 0x y .
(Ⅱ)解:
2 2
2 2 2 2
2 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)( ) ( 1) ( 1)
a x x ax a x a axf x x x
.
由于 0a ,以下分两种情况讨论.
(1)当 0a 时,令 ( ) 0f x ,得到 1
1x a
, 2x a .当 x 变化时, ( ) ( )f x f x , 的
变化情况如下表:
①
②
x
1
a
,∞
a
1
1 aa
,
a
( )a , ∞
( )f x
0 0
( )f x 极小值 极大值
所以 ( )f x 在区间 1
a
,∞ , ( )a , ∞ 内为减函数,在区间 1 aa
, 内为增函数.
函数 ( )f x 在 1
1x a
处取得极小值 1f a
,且 21f aa
,
函数 ( )f x 在 ax 2 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 1f a .
(2)当 0a 时,令 ( ) 0f x ,得到 1 2
1x a x a
, ,当 x 变化时, ( ) ( )f x f x , 的
变化情况如下表:
x
a ,∞
a
1a a
, 1
a
1
a
,+ ∞
( )f x
0 0
( )f x 极大值 极小值
所以 ( )f x 在区间 ( )a ,∞ , 1
a
,+ ∞ 内为增函数,在区间 1a a
, 内为减函数.
函数 ( )f x 在 1x a 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 1f a .
函数 ( )f x 在 2
1x a
处取得极小值 1f a
,且 21f aa
.
【模拟试题】
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
1、若函数 12)( 2 xxf 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y),则
x
y
为( )
A、4 x2 B、 xx 4 C、 x4 D、 2)(4 xx
2、设 ( ) |1 | ||f x x x ,则 f (0)为
A、0 B、1 C、-1 D、不存在
3、若 )(xf 为偶函数,且 )(xf 存在,则 )0(f ( )
A、0 B、1 C、 x D、x
4、若可导函数 )(xfy 的导数,即 )(xf =0 只有一个实根 0xx ,则( )
A、 )( 0xf 是函数的最值 B、 )( 0xf 是函数的极值
C、 )(xf 在 0xx 的左右异号 D、当 )(xf 有极值时,其极值是 )( 0xf
5、函数 223)( abxaxxxf ,在 1x 时有极值 10,则 a、b 值为( )
A、 11,43,3 baba 或 B、 11,41,4 baba 或
C、 5,1 ba D、以上都不对
6、设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数,将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标
系中,不可能正确的是( )
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
7、已知函数 dcxbxx)x(f 23 的图象过点 P(0,2),且在点 M ))1(,1( f 处的切
线方程为 076 yx ,函数 )(xfy 的解析式为___________。
8、设点 P 是曲线
3
233 xxy 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ,则角 的取
值范围是 。
9、已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值
范围是 。
10 、 已 知 ( ) sin 2 , ,f x x x x R 且 (1 ) (2 ) 0f a f a , 则 a 的 取 值 范 围
是 。
三、解答题(本大题共 4 题,共 50 分)
11、已知函数 3 21( ) (2 ) 13f x ax bx b x 在 1x x 处取得极大值,在 2x x 处取得
极小值,且 1 20 1 2x x .
(I)证明 0a ;
(II)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。
12、设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c 在 1x 及 2x 时取得极值.
(Ⅰ)求 a、b 的值;
(Ⅱ)若对于任意的 [0 3]x , ,都有 2( )f x c 成立,求 c 的取值范围.
13、设函数 2( ) ( )f x x x a ( xR ),其中 aR .
(Ⅰ)当 1a 时,求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f, 处的切线方程;
(Ⅱ)当 0a 时,求函数 ( )f x 的极大值和极小值;
(Ⅲ)当 3a 时,证明存在 1 0k , ,使得不等式 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对
任意的 xR 恒成立.
14、设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0).
(Ⅰ)令 F(x)=xf'(x),讨论 F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.
【试题答案】
1、A
2、B
3、A
4、D
5、D
6、D
7、解:由 )(xf 的图象经过 P(0,2),知 d=2,
所以 ,2)( 23 cxbxxxf
.23)( 2 cbxxxf
由在 ))1(,1( fM 处的切线方程是 076 yx ,知
.6)1(,1)1(,07)1(6 fff 即
.3,0
,32
.121
,623
cbcb
cb
cb
cb 解得即
故所求的解析式是 .233)( 23 xxxxf
8、 ),3
2[)2,0[
9、解:∵f'(x)=3x2+6ax+3a+6,令 f′(x)=0,则 x2+2ax+a+2=0
又∵f(x)既有极大值又有极小值
∴f’(x)=0 必有两解,即△=4a2-4a-8>0
解得 a<-1 或 a>2。
10、(-∞,-1)
11、解:求函数 ( )f x 的导数 2( ) 2 2f x ax bx b .
(Ⅰ)由函数 ( )f x 在 1x x 处取得极大值,在 2x x 处取得极小值,知 1 2x x, 是
( ) 0f x 的两个根.
所以 1 2( ) ( )( )f x a x x x x
当 1x x 时, ( )f x 为增函数, ( ) 0f x ,由 1 0x x , 2 0x x 得 0a .
(Ⅱ)在题设下, 1 20 1 2x x 等价于
(0) 0
(1) 0
(2) 0
f
f
f
即
2 0
2 2 0
4 4 2 0
b
a b b
a b b
.
化简得
2 0
3 2 0
4 5 2 0
b
a b
a b
.此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:
2 0 3 2 0 4 5 2 0b a b a b , , .
所围成的 ABC△ 的内部,其三个顶点分别为: 4 6 (2 2) (4 2)7 7A B C
, , ,, , .
z 在这三点的值依次为16 6 87
,,.
所以 z 的取值范围为 16 87
, .
12、解:(Ⅰ) 2( ) 6 6 3f x x ax b ,
因为函数 ( )f x 在 1x 及 2x 时取得极值,则有 (1) 0f , (2) 0f .
即 6 6 3 0
24 12 3 0
a b
a b
,
.
解得 3a , 4b .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c ,
2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x .
当 (01)x , 时, ( ) 0f x ;
当 (1 2)x , 时, ( ) 0f x ;
当 (2 3)x , 时, ( ) 0f x .
所以,当 1x 时, ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c ,又 (0) 8f c , (3) 9 8f c .
则当 0 3x , 时, ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c .
因为对于任意的 0 3x , ,都有 2( )f x c 恒成立,
所以 29 8c c ,
解得 1c 或 9c ,
因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 ) , , .
13、本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式
等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.
(Ⅰ)解:当 1a 时, 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x ,得 (2) 2f ,且
2( ) 3 4 1f x x x , (2) 5f .
所以,曲线 2( 1)y x x 在点 (2 2), 处的切线方程是 2 5( 2)y x ,整理得
5 8 0x y .
(Ⅱ)解: 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a x
2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a .
令 ( ) 0f x ,解得
3
ax 或 x a .
由于 0a ,以下分两种情况讨论.
(1)若 0a ,当 x 变化时, ( )f x 的正负如下表:
x 3
a
∞,
3
a
3
a a
, a ( )a ,∞
( )f x 0 0
因此,函数 ( )f x 在
3
ax 处取得极小值
3
af
,且 34
3 27
af a
;
函数 ( )f x 在 x a 处取得极大值 ( )f a ,且 ( ) 0f a .
(2)若 0a ,当 x 变化时, ( )f x 的正负如下表:
x a∞, a 3
aa
,
3
a
3
a
,∞
( )f x 0 0
因此,函数 ( )f x 在 x a 处取得极小值 ( )f a ,且 ( ) 0f a ;
函数 ( )f x 在
3
ax 处取得极大值
3
af
,且 34
3 27
af a
.
(Ⅲ)证明:由 3a ,得 13
a ,当 1 0k , 时, cos 1k x ≤ , 2 2cos 1k x ≤ .
由(Ⅱ)知, ( )f x 在 1∞, 上是减函数,要使 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ ,xR
只要 2 2cos cos ( )k x k x x R≤
即 2 2cos cos ( )x x k k x R≤ ①
设
2
2 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x
,则函数 ( )g x 在 R 上的最大值为 2 .
要使①式恒成立,必须 2 2k k ≥ ,即 2k ≥ 或 1k ≤ .
所以,在区间 1 0 , 上存在 1k ,使得 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对任意的
xR 恒成立.
14、本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不
等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:根据求导法则有 2ln 2( ) 1 0x af x xx x
, ,
故 ( ) ( ) 2ln 2 0F x xf x x x a x , ,于是 2 2( ) 1 0xF x xx x
, ,
列表如下:
x
(0 2),
2
(2 ), ∞
( )F x
0
( )F x 极小值 (2)F
故知 ( )F x 在 (0 2), 内是减函数,在 (2 ), ∞ 内是增函数,所以,在 2x 处取得极小值
(2) 2 2ln 2 2F a .
(Ⅱ)证明:由 0a≥ 知, ( )F x 的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0F a .
于是由上表知,对一切 (0 )x , ∞ ,恒有 ( ) ( ) 0F x xf x .
从而当 0x 时,恒有 ( ) 0f x ,故 ( )f x 在 (0 ), ∞ 内单调增加.
所以当 1x 时, ( ) (1) 0f x f ,即 21 ln 2 ln 0x x a x .
故当 1x 时,恒有 2ln 2 ln 1x x a x .
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