【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 12页

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 ‎ ‎1、在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）‎ A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．丙、丁 ‎2、观察式子：，则可归纳出式子为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3、甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）‎ A．甲没过关 B．乙过关 C．丙过关 D．丁过关 ‎4、在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A．丙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丁 ‎5、箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）‎ A．草花5 B．红桃 C．红桃4 D．方块5‎ ‎6、设则、、三数(　　)‎ A．至少有一个不大于2 B．至少有一个不小于2‎ C．都小于2 D．都大于2‎ ‎7、如图1，平面中的角的内角平分线分面积所成的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥（如图2）中，平面平分二面角且与相交于，则类比的结论是____________.‎ ‎8、某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高”乙说：“我的成绩一定比丙高”丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名 ‎9、对于大于或等于2的自然数的次幂进行如图的方式“分裂”.仿此，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为__________．‎ ‎10、已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名； ：丙第一名，甲第二名；：乙第一名，甲第三名．成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_____．‎ ‎11、在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．‎ ‎12、已知，，．证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎13、在如图所示的数阵中每一行从左到右均是首项为1，项数为n的等差数列，设第行的等差数列中的第k项为2，3，，，公差为，若，，且，，，，也成等差数列．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ求关于m的表达式；‎ Ⅲ若数阵中第i行所有数之和，第j列所有数之和为，是否存在i，j满足，使得成立？若存在，请求出i，j的一组值；若不存在，请说明理由．‎ ‎14、已知定义在上的函数满足：对任意的实数都成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的函数，已知函数具有性质：（,）对任意的实数（）都成立，当且仅当时取等号.‎ ‎（1）试判断函数（且）是否是上的函数，说明理由；‎ ‎（2）求证：是上的函数，并求的最大值（其中、、是△三个内角）；‎ ‎（3）若定义域为，‎ ‎①是奇函数，证明：不是上的函数；‎ ‎②最小正周期为，证明：不是上的函数.‎ ‎15、已知数列满足,‎ ‎(1)计算的值；‎ ‎(2)由(1)的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ 参考答案 ‎1、答案：D 若甲乙参加此案，则不符合（3）；若乙丙参加此案，则不符合（3）；若甲丁参加此案，则不符合（4）；当丙丁参加此案，全部符合.‎ 故选D.‎ ‎2、答案：A ‎ 根据题意，‎ ‎ 第个式子的左边应为，‎ ‎ 右边应为，并且满足不小于，‎ ‎ 所以第个式子为，故选A．‎ ‎3、答案：C 基于他们说的都是真的情况下，由“甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；”可以推出，它们四人中一定只有两人过关，又丙说：甲乙丁恰好有一人过关，所以得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，它们四人中一定只有两人过关，再由，丙说：甲乙丁恰好有一人过关.所以得到，丙一定过关，故选C.‎ ‎4、答案：A 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁，依次分析题设条件，能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故A正确；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，‎ 则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故B错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，‎ 则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故C错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，‎ 则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎5、答案：D 甲第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；乙第一句表明花色为红桃或方块，‎ 甲第二句表明不是A；乙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；‎ 而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，‎ 甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；‎ 故选D.‎ ‎6、答案：B 将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a+b+c＝xyz6，‎ 当a，b，c都小于2时，a+b+c<6，上式不成立，‎ ‎∴a，b，c至少有一个不小于2.‎ 故选：C．‎ ‎7、答案：‎ ‎8、答案：2‎ 分别讨论三人中一人说的不对，另外2人正确，然后进行验证是否满足条件，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，‎ 乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，‎ 此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，‎ 若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．‎ 若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．‎ 故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第2位，‎ 故答案为：2‎ ‎9、答案：15‎ 根据所给的数据，找到规律：在n2中所分解的最大的数是2n﹣1；在n3中，所分解的最小数是n2﹣n+1.根据发现的规律可求．‎ ‎【详解】‎ 根据所给的数据，找到规律：在中所分解的最大的数是2m﹣1；‎ 在中，所分解的最小数是﹣m+1.‎ 若m3的“分裂”中最小数是211，则﹣m+1＝211‎ m＝15或﹣14（负数舍去）．‎ 故答案为：15.‎ ‎10、答案：丙 根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，假设A的说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；‎ 所以A中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；‎ 又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，‎ 所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.‎ ‎11、答案：‎ 由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，故可得出结论 ‎【详解】‎ 由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 一般是由点的性质类比推理到线的性质，‎ 由线的性质类比推理到面的性质，‎ 由圆的性质推理到球的性质．‎ 由已知在平面几何中，△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，‎ 则△ABC的外接圆半径，‎ 我们可以类比这一性质，推理出：‎ 在四面体S﹣ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，‎ 则四面体S﹣ABC的外接球半径R 故答案为：‎ ‎12、答案：见解析 试题分析：（1）直接利用作差法证明.(2)利用已知和基本不等式证明.‎ 详解：（1）因为．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）及得．‎ 因为，．‎ 于是．‎ ‎13、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），其中；（Ⅲ）不存在.‎ 试题分析：本题的数阵中蕴涵着很多个等差数列，包括每一行都成等差数列，最后一列也成等差数列，每一行的公差也成等差数列，把握住这些，然后细心运算．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ由题意，可知：‎ 数阵中的第1行是以为首相，为公差的等差数列，‎ 数阵中的第1行的最后一项．‎ 又数阵中的第2行是以为首相，为公差的等差数列，‎ 数阵中的第2行的最后一项．‎ 数阵中的每行的最后一项，，，，也成等差数列．‎ ‎．‎ Ⅱ由Ⅰ可知：‎ ‎，．‎ 数阵中的每行的最后一项，，，，是以为首项，为公差的等差数列．‎ 等差数列，，，，中的第m项．‎ 数阵第m行中第1项，最后一项第n项，而数阵第m行也是等差数列．‎ 数阵第m行的公差．‎ ‎，其中．‎ Ⅲ由题意及ⅠⅡ，可知：‎ 数阵中第i行是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎．‎ 由Ⅱ可知：‎ 是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 等差数列．‎ 假设成立，即．‎ 整理，得：‎ 要使此式成立，必须有：‎ ‎，‎ 解得：，很明显，这与题中条件相矛盾．‎ 不存在i，j的一组值，使得成立．‎ ‎14、答案：（1），是S函数；，不是S函数；（2）见解析，最大值；（3）见解析.‎ 试题分析：(1)利用S函数的定义证明当0＜a＜1时，不是上的函数.当a大于1时，不是上的函数.（2）利用S函数的定义证明是上的函数，并利用S函数的性质求的最大值.(3)利用举反例证明.‎ ‎【详解】‎ 任取,‎ 当 同理可证，当0＜a＜1时，不是上的函数.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以是上的函数.‎ 由S函数的性质有 所以 ‎（3）用举反例证明，‎ 令f(x)=sinx,‎ 所以f(x)=sinx是R上的周期为π的奇函数，‎ 取 所以 而 即在R上，f(x)=sinx不是S函数，故原命题得证.‎ ‎15、答案：（1）见解析；（2）见解析 试题分析：（1）a1＝0，an+1，通过n＝1，2，3，直接计算的值；（2）由（1）的结果猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n＝k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n＝k+1时，等式成立．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,当时 时 时 ‎(2)，猜想 证明①当时成立 ‎②假设时成立 那么时有 即时成立 综合①②可知