2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 11页

www.ks5u.com ‎2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎2.5.1　‎直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)‎ ‎2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)‎ ‎3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)‎ 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.‎ ‎“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． ‎ 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？‎ ‎1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 ‎2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？‎ ‎[提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．‎ ‎3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”‎ 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；‎ 第二步：通过代数运算，解决代数问题；‎ 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　)‎ ‎(2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　)‎ ‎(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　)‎ ‎(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　)‎ ‎[提示]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.]‎ ‎3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)‎ A．1 B． C． D．2‎ D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.]‎ ‎4．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．‎ x＋2y－5＝0　[由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.]‎ 直线与圆的位置关系 ‎【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：‎ ‎(1)有两个公共点；‎ ‎(2)只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ ‎[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，‎ ‎(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.‎ ‎∵Δ＝4m(3m＋4)，‎ ‎∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；‎ ‎(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，‎ 即直线与圆只有一个公共点；‎ ‎(3)当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，‎ 即直线与圆有两个公共点；‎ ‎(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；‎ ‎(3)当d>2时，即－1，‎ 所以点A在圆外，故切线有两条．‎ ‎①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，‎ 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.‎ 设圆心为C，‎ 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，‎ 所以＝1，即|k＋4|＝，‎ 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.‎ 所以切线方程为－x－y＋－3＝0，‎ 即15x＋8y－36＝0.‎ ‎②若直线斜率不存在，‎ 圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，‎ 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.‎ 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.‎ 圆的切线方程的求法 ‎(1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.‎ ‎(2)点在圆外时 ‎①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．‎ ‎②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．‎ 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．‎ ‎4　[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为，‎ 当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝≥3，所以切线长的最小值为＝4.]‎ 直线与圆相交问题 ‎【例3】　(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.‎ ‎(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．‎ ‎[思路探究]　(1)利用交点坐标直接求解．‎ ‎(2)直线l要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．‎ ‎[解]　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.‎ ‎(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，‎ 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得3＝，‎ 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.‎ 求弦长常用的三种方法 ‎(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．‎ ‎(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．‎ ‎(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)‎ A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D． B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，‎ ‎∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝‎ ＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.故选B.]‎ 直线与圆位置关系的综合 ‎【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？‎ ‎[思路探究]　先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．‎ ‎[解]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，‎ 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．‎ 直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 ‎(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；‎ ‎(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；‎ ‎(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；‎ ‎(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　)‎ A．14米 B．15米 C．米 D．2米 D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．‎ 设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，‎ 设圆的半径长为r，则C(0，－r)，‎ 则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.‎ 将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，‎ 当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，‎ 可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，‎ ‎∴水面宽度|A′B′|＝2米．]‎ ‎1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．‎ ‎2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．‎ ‎3．坐标法解决问题的一般步骤 ‎(1)建立适当的平面直角坐标系；‎ ‎(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；‎ ‎(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；‎ ‎(4)反演回去，得到几何问题的结论．‎ ‎1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)‎ A．过圆心　　　 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 D　[圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]‎ ‎2．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)‎ A．±1 B．± C．± D．±2‎ A　[由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，所以有＝，解得k＝±1.]‎ ‎3．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　)‎ A． B．5‎ C． D．25‎ C　[设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.由直线与圆相切可得r＝.故选C.]‎ ‎4．过点A(－1,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________．‎ y＝4或3x＋4y－13＝0　[设方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0.∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，‎ 解得k＝0或k＝－.故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.]‎ ‎5．已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)AB的中点坐标，AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，‎ ‎∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，‎ 即y＝kx＋－k，‎ 则圆心(0,0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，‎ 则有＋()2＝4，解得：k＝－，‎ 则直线l的方程为y＝－x＋.‎ 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．‎ ‎∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.‎