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- 2021-06-16 发布
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课时分层作业(七) 复数的乘法与除法
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.i为虚数单位,=( )
A.-1 B.1 C.-i D.i
A [2===-1.]
2.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( )
A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i
B [(-1+i)(2-i)=-1+3i.]
3.在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [z===-1-i的共轭复数为-1+i,对应的点为(-1,1),在第二象限.]
4.已知是z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
A [设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z·i+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),
∴2+(a2+b2)i=2a+2bi,
由复数相等的条件得,
∴
∴z=1+i,故选A.]
5.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于( )
A. B. C.1 D.2
A [∵z===
===-+,
∴=--,∴z·=.]
二、填空题
6.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值是________.
-2 [(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2.]
7.若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________.
1 [因为(3-4i)z=4+3i,
所以z====i.则|z|=1.]
8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=__________.
1 [∵=b+i,∴a+2i=(b+i)i=-1+bi,
∴a=-1,b=2,∴a+b=1.]
三、解答题
9.计算:
(1)(1-i)(-1+i)+(-1+i);
(2)(1+i).
[解] (1)原式=-1+i+i-i2-1+i=-1+3i.
(2)原式=(1+i)=1+i.
10.已知复数z=-(5-9i).
(1)求复数z的模;
(2)若复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
[解] (1)z=-(5-9i)=-+i=-1+2i,
∴|z|==.
(2)∵复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根,
∴-6-m+n+(2m-8)i=0.
由复数相等的定义,
得∴
∴实数m,n的值分别为4,10.
11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则1=2
B.若z1=2,则1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·1=z2·2
D.若|z1|=|z2|,则z=z
ABC [A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒1=2,真命题;
B,z1=2⇒1=2=z2,真命题;
C,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·1=z2·2,真命题;
D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z=1,z=-1,即z≠z,假命题.]
12.对于任意的两个数对(a,b)和(c,d),定义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若(1,-1)*(z,zi)=1-i,则复数z为( )
A.2+i B.2-i C.i D.-i
D [因为(a,b)*(c,d)=ad-bc,
又(1,-1)*(z,zi)=1-i,
所以zi+z=1-i.
所以z===-i.]
13.若复数z=的实部为3,则z的虚部为_____________.
1 [z====+i.由题意知=3,∴a=-1,∴z=3+i.∴z的虚部为1.]
14.已知a,b∈R,2-3i2 019=,若复数z满足|z-(a+bi)|=,则|z|的最大值为________.
3 [∵i2 019=i4×504+3=i3=-i,∴2-3i2 019=2+3i=,
∴1-2bi=(2+3i)(a+i)=2a-3+(3a+2)i,∴
解得∴|z-(a+bi)|=|z-(2-4i)|=,
∴复数z对应的点在以(2,-4)为圆心,半径为的圆上,
∴|z|的最大值为+=3.]
15.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=+|-2|.
(1)求z;
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.
[解] (1)∵w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,
∴w===2-i,
∴z=+|i|=+1=3+i.
(2)∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,
∴(3+i)2-p(3+i)+q=0,即(8-3p+q)+(6-p)i=0,
又p,q为实数,∴解得
解方程x2-6x+10=0,得x=3±i.
∴实数p=6,q=10,方程的另一个根为x=3-i.
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