普宁侨中 2018 届高二级第一学期期末考试试卷·理科数学 11页

普宁侨中 2018 届高二级第一学期期末考试试卷·理科数学 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。 2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或 在非指定区域作答，否则答案无效。 一、选择题（60 分，每题 5 分） 1.已知集合  0322  xxxA 、 Z 为整数集，则集合 ZA  中所有元素的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知复数 3 3 i iz  ，则 z 的虚部为（ ） A． 3 B．3 C． i3 D． i3 3. 某高中共有 2000 名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽 取 1 人，抽到高二年级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则在高三 年级中应抽取的学生人数是（ ） A. 8 B. 16 C. 28 D. 32 4．如图所示，程序框图的输出值 S  （ ） 高一 高二 高三 女生 373 m n 男生 377 370 p A． 21 B．15 C． 28 D． 21 5.若 双 曲 线 )( nom  的渐近线方程是 xy 2 。则该双曲线的离心率 为 ( ) A. 2 B. 3 C. D. 5 6.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若公差 2d   ， 3 21S  ，则当 nS 取得最大值时，n 的值为（ ） A．10 B．9 C．6 D．5 7.已知变量 x 、 y 满足约束条件       062 1 yx xy y ,那么 yxz 32  的最小值为（ ） A. 2 11 B. 8 C. 4 3 D. 10 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 俯 视 图 正 视 侧 视 3 6 4 2 A．12 B． 24 C．40 D．72 9.已知函数    sin 0 2f x x           ， ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 2  ，且函数 12f x     是偶函数，下列判断正确的是（ ） A．函数  f x 的最小正周期为 2 B．函数  f x 的图象关于点 7 012      ， 对称 C.函数  f x 的图象关于直线 7 12x   对称 D.函数  f x 在 3 4       ， 上单调递增 1 22  n y m x 2 6 10.平行四边形 ABCD 中， 4 2 4AB AD AB AD    ， ， ，点 P 在边 CD 上，则 PA PB  的取值范围 是（ ） A． 1 8 ， B．[ 1 )  ， C. 0 8， D． 1 0 ， 11. 三 棱 锥 ABCP  的 四 个 顶 点 均 在 同 一 球 面 上 ， 其 中 ABC 是 正 三 角 形 ， PA 平 面 62,  ABPAABC 则该球的体积为（ ） A. 316 B. 332 C. 48 D. 364 12．已知点  ,P x y 在不等式组       022 01 02 yx y x 表示的平面区域上运动，则 z x y  的取值范围是 （ ） A． 1,2 B． 2,1 C． 2, 1  D． 1,2 二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、某小学 1000 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示. 其中成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) , [70,80) ,[80,90) , [90,100].根据统计学的知识估计成绩在[80,90) 内的人数约为 . 14、已知直线3 4 2 0x y   与圆 2 2 2 0x y tx   相切，则t  . 15、设 f(x)= 1 2 3 2 ,( 2) log ( 1),( 2) xe x x x     ，则不等式 f(x)>2 的解集为 . 16、一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 三、解答题（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和 23 2n n nS n N  ， . (1)求数列 na 的通项公式； (2)证明：对任意 1n  ，都有 m N  ，使得 1 n ma a a， ， 成等比数列. 18、（12 分）△ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcos C＋csin B. （1）求 B； （2）若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD， DAB 为直角，AB//CD， AD=CD=2AB=2，E，F 分别为 PC，CD 的中点． （Ⅰ）证明： AB  平面 BEF； （Ⅱ）若 2 5 5PA  ，求二面角 E-BD-C. 20.（本小题满分 12 分） 椭圆 2 2 2: 1( 1)xH y aa    ，原点O 到直线 MN 的距离为 3 2 ，其中：点 (0, 1)M  ， 点 ( ,0)N a . （Ⅰ）求该椭圆 H 的离心率 e ； （Ⅱ）经过椭圆右焦点 2F 的直线和该椭圆交于 ,A B 两点，点C 在椭圆上，O 为原点， 若 1 3 2 2OC OA OB    ，求直线的方程． 21．（本小题满分 12 分） 设函数 xaxxf ln)()(  ， xe xxg 2 )(  .已知曲线错误！未找到引用源。 在点 (1, (1))f 处的切线与 直线 02  yx 错误！未找到引用源。平行. （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）是否存在自然数 k ，使得方程错误！未找到引用源。在 ( , 1)k k  内存在唯一的根？如果存在， 求出 k ；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数错误！未找到引用源。（ { },min p q 表示， ,p q 中的较小值），求  m x 的最大值. 22.选考题 请从（1）、（2）、二题中任选一题作答，用 2B 铅笔将所选题目的题号涂黑，并将所选题 号填入括号中。如果多做，则按所做的前两题计分。（本题满分 10 分） （1）已知曲线C 的参数方程为        sin51 cos52 y x ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线的极坐标方程为  (sinθ+cosθ)=1，求直线被曲线C 截得的弦长. （2）. 已知函数 ( ) | |f x x a  ，不等式 ( ) 3f x  的解集为 1,5 . （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）若 ( ) ( 5)f x f x m   对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 普宁侨中 2018 届高二级第一学期期末考试试卷·理科数学参考答案 1-12：CBBDC DBCDA BD 13、180 14、1 或 1 4  15、 (1,2) ( 10, ) 16、 8 3 17. 解 : （ 1 ） 因 为 23 2n n nS  ， 所 以 当 2n  时 1 3 2,n n na S S n    又 1n  时 ， 1 1 3 1 2,na S     所以 3 2,na n  6 分 （2）要使得 1 n ma a a， ， 成等比数列，只需要 2 1n ma a a ，即 2 2(3 2) 1 (3 2), 3 4 2n m m n n       . 而此时 m N  ，且 ,m n 所以对任意 1n  ，都有 m N  ，使得 1 n ma a a， ， 成等比数列. 12 分 18. .解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又 A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B， 又 B∈(0，π)，所以 . 6 分 (2)△ABC 的面积 .由已知及余弦定理得 4＝ a2＋c2－ . 又 a2＋c2≥2ac，故 ，当且仅当 a＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为 . 12 分 19 .解：（Ⅰ）证：由已知 DF∥AB 且  DAB 为直角，故 ABFD 是矩形， 从而 AB  BF． 又 PA  底面 ABCD, ∴平面 PAD  平面 ABCD， ∵AB  AD，故 AB  平面 PAD,∴AB  PD， 在ΔPCD 内，E、F 分别是 PC、CD 的中点，EF//PD， ∴ AB  EF． 由此得 AB 平面 BEF ．............6 分 （Ⅱ）以 A 为原点，以 AB，AD，AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系， 则 5( 1,2,0), (0,1, )5BD BE    设平面CDB的法向量为 )1,0,0(1 n ，平面 EDB 的法向量 为 ),,(2 zyxn  ， 则      0 0 2 2 BEn BDn 2 0 5 05 x y zy      可 取  2 2,1, 5n   设二面角 E BD C 的大小为 ，则 |||| |||,cos|cos 21 21 21 nn nnnn   = 5 2 21 10   ， 所以， 4   ............12 分 20.解：（Ⅰ）设直线 MN ： 0x ay a   且 2 3 321 a a a     所以离心率 2 6 33 e   . ............3 分 （Ⅱ）椭圆 H 方程为 2 2 13 x y  ，设 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y ①当直线斜率为 0 时，其方程为 0y  ， 此时 ( 3,0)A ， ( 3,0)B  ，不满足 1 2 1 23 0x x y y  ，不符合题意，舍去.......4 分 ②当直线斜率不为 0 时设直线方程为 2x my  ， 由题： 2 2 2 13 x my x y      消 x 得  2 23 2 2 1 0m y my    ，........5 分 所 以 1 2 2 1 2 2 0 2 2 3 1 3 y y m y y m            ............7 分 因为 1 3 2 2OC OA OB    ，所以 3 1 2 1 3+2 2x x x ， 3 1 2 1 3+2 2y y y 因为点C 在椭圆上， 所以 2 22 23 3 1 2 1 2 1 1 3 1 3+ +3 3 2 2 2 2 x y x x y y                2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 4 3 4 3 2 3 x xy y x x y y                    1 2 1 2 1 3 3 1 14 4 2 3 x x y y        所以 1 2 1 23 0x x y y  ............9 分     2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 ( ) 2x x my my m y y m y y        2 2 2 1 2 23 2 2 03 3m mm m          化简得 2 1 0m   ，得 1m   直线为 2x y   ............11 分 综上，直线为 2 0, 2 0x y x y      ............12 分 21.解:（Ⅰ）由题意知，曲线 在点 (1, (1))f 处的切线斜率为 2 ，所以 '(1) 2f  ， 又 '( ) ln 1,af x x x    所以 1a  . 3 分 （Ⅱ） 1k  时，方程 ( ) ( )f x g x 在 (1,2) 内存在唯一的根. 设 2 ( ) ( ) ( ) ( 1)ln ,x xh x f x g x x x e      当 (0,1]x 时， ( ) 0h x  . 又 2 2 4 4(2) 3ln 2 ln8 1 1 0,h e e        所以存在 0 (1,2)x  ，使 0( ) 0h x  . 因为 1 ( 2)'( ) ln 1 ,x x xh x x x e     所以当 (1,2)x 时， 1'( ) 1 0h x e    ，当 (2, )x  时， '( ) 0h x  ， 所以当 (1, )x  时， ( )h x 单调递增. 所以 1k  时，方程 ( ) ( )f x g x 在 ( , 1)k k  内存在唯一的根. 8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程 ( ) ( )f x g x 在 (1,2) 内存在唯一的根 0x ，且 0(0, )x x 时， ( ) ( )f x g x ， 0( , )x x  时， ( ) ( )f x g x ，所以 0 2 0 ( 1)ln , (0, ] ( ) , ( , )x x x x x m x x x xe      . 当 0(0, )x x 时，若 (0,1], ( ) 0;x m x  若 0(1, ),x x 由 1'( ) ln 1 0,m x x x     可知 00 ( ) ( );m x m x  故 0( ) ( ).m x m x 当 0( , )x x  时，由 (2 )'( ) ,x x xm x e  可得 0( ,2)x x 时， '( ) 0, ( )m x m x 单调递增； (2, )x  时， '( ) 0, ( )m x m x 单调递减； 可知 2 4( ) (2) ,m x m e   且 0( ) (2)m x m . 综上可得：函数 ( )m x 的最大值为 2 4 e . 12 分 22.(1)∵曲线C 的参数方程为        sin51 cos52 y x (α为参数) ∴曲线C 的普通方程为   2 22 1 5x y    将        sin cos y x 代入并化简得： 4cos 2sin    即曲线 c 的极坐标方程为 4cos 2sin    ..........5 分 (2)∵的直角坐标方程为 1 0x y   ∴圆心C 到直线的距离为 d= 2 2 = 2 ∴弦长为 2 25  =2 3 ..........10 分 22. (2).解..(1)∵| | 3x a  ∴ 3 3a x a    ∵ ( ) 3f x  的解集为 ∴ 53 13   a a ∴a=2 .......5 分 (2)∵ ( ) ( 5) | 2 | | 3| | ( 2) ( 3) | 5f x f x x x x x           又 ( ) ( 5)f x f x m   恒成立 ∴m≤5 ...............10 分