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- 2021-06-16 发布
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专练7 二次函数与幂函数
命题范围:二次函数、幂函数的解析式、图象与性质.
[基础强化]
一、选择题
1.[2020·包头市一中测试]若幂函数y=f(x)的图象过点,则f(2)为( )
A. B.
C. D.-1
2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
3.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )
A.m=2 B.m=-1
C.m=-1或m=2 D.m≠
4.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a满足的条件是( )
A.a≥8 B.a≤8
C.a≥4 D.a≥-4
5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )
A.f(0)0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
7.[2020·邢台一中测试]已知二次函数f(x)=ax2-2x+c的值域为[0,+∞),则+的最小值为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
8.[2020·唐山摸底]设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
C.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
9.[2020·衡水一中测试]已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3
,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-)
B.(-,0)
C.(-∞,0)∪(,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
二、填空题
10.已知a∈,若幂函数f(x)=xa为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则a=________.
11.已知幂函数f(x)=x-k2+k+2(k∈N*)满足f(2)3}
C.{x|12}
14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,则实数a的取值范围是________.
专练7 二次函数与幂函数
1.C ∵幂函数y=f(x)的图象过点,
∴可设f(x)=xα,
∴5α=,解得α=-1,
∴f(x)=x-1.
∴f(2)=f(2)=f=-1=,故选C.
2.D 设幂函数的解析式为f(x)=xα,将(3,)代入解析式得3α=,解得a=,∴f(x)=x.∴f(x)为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D.
3.A 因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以解得m=2.
4.A 函数图象的对称轴为x=,由题意得≥4,解得a≥8.故选A.
5.A 由f(1+x)=f(-x)知函数f(x)图象的对称轴为x=,而抛物线的开口向上,且=,=,=,根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(-2)>f(2)>f(0).故选A.
6.B 因为f(x)>0的解集为(-1,3),故-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,所以即令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,由x∈[-1,0]可得g(x)min=m,又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4,故选B.
7.B 由题意得
∴ac=1,又a>0,∴c>0.
∴+≥2=6.
8.A ∵f(x)的定义域为[0,+∞),且f(-x)=-x(e-x+ex)=-f(x),∴f(x)为奇函数,又当x>0时,f′(x)=ex+e-x+(ex-e-x)x>0,
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,故选A.
9.A 当x<0时,f(x)=-f(-x)=x3,
∴f(x)=x3(x∈R),
易知f(x)在R上是增函数,
结合f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,
知-4t>2m+mt2对任意实数t恒成立⇒mt2+4t+2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(-∞,-),故选A.
10.-1
11.f(x)=x2
解析:幂函数f(x)=x (k∈N*)满足f(2)0,∴-10在a∈[-1,1]上恒成立,
只需
⇒⇒x<1或x>3,故选B.
14.B 因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.
对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4),得a>-+在(1,4)上恒成立.令g(x)=-+=-22+,因为∈,所以g(x)max=g(2)=,所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要a>即可,故实数a的取值范围是.
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