高二数学人教a必修5练习：第二章数列复习课word版含解析 5页

第二章 章末复习课 课时目标 综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题． 一、选择题 1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，则 a＋b＋c 的值为( ) 1 2 1 2 1 a b c A.1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 由题意知，a＝1 2 ，b＝ 5 16 ，c＝ 3 16 ， 故 a＋b＋c＝1. 2．已知等比数列{an}，a1＝3，且 4a1、2a2、a3 成等差数列，则 a3＋a4＋a5 等于( ) A．33 B．72 C．84 D．189 答案 C 解析 由题意可设公比为 q，则 4a2＝4a1＋a3， 又 a1＝3，∴q＝2. ∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84. 3．已知一个等比数列首项为 1，项数为偶数，其奇数项和为 85，偶数项之和为 170， 则这个数列的项数为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 答案 C 解析 设项数为 2n，公比为 q. 由已知 S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1. ① S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n. ② ②÷①得，q＝170 85 ＝2， ∴S2n＝S 奇＋S 偶＝255＝a11－q2n 1－q ＝1－22n 1－2 ， ∴2n＝8. 4．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7 依次成等比数列，前 7 项和为 35，则 数列{an}的通项 an 等于( ) A．n B．n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 答案 B 解析 由题意 a23＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)， 得 a1d＝2d2. 又 d≠0，∴a1＝2d，S7＝7a1＋7×6 2 d＝35d＝35. ∴d＝1，a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝n＋1. 5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n (n≥2，n∈N＋)，则a3 a5 的值是( ) A.15 16 B.15 8 C.3 4 D.3 8 答案 C 解析 由已知得 a2＝1＋(－1)2＝2， ∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝1 2 ， ∴1 2a4＝1 2 ＋(－1)4，∴a4＝3， ∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝2 3 ， ∴a3 a5 ＝1 2 ×3 2 ＝3 4. 6．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足 bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数 列{bn}前 n 项和的最大值等于( ) A．126 B．130 C．132 D．134 答案 C 解析 ∵{an}是各项不为 0 的正项等比数列， ∴{bn}是等差数列． 又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2， ∴Sn＝22n＋nn－1 2 ×(－2)＝－n2＋23n， ＝－(n－23 2 )2＋232 4 ∴当 n＝11 或 12 时，Sn 最大， ∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132. 二、填空题 7．三个数成等比数列，它们的和为 14，积为 64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 __________． 答案 2,4,8 解析 设这三个数为a q ，a，aq.由a q·a·aq＝a3＝64，得 a＝4. 由a q ＋a＋aq＝4 q ＋4＋4q＝14.解得 q＝1 2 或 q＝2. ∴这三个数从小到大依次为 2,4,8. 8．一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项和之比为 32∶27，则 这个等差数列的公差是____． 答案 5 解析 S 偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12；S 奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11. 则 S 奇＋S 偶＝354 S 偶÷S 奇＝32∶27 ，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d＝30，d＝5. 9．如果 b 是 a，c 的等差中项，y 是 x 与 z 的等比中项，且 x，y，z 都是正数，则(b－c)logmx ＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______. 答案 0 解析 ∵a，b，c 成等差数列，设公差为 d， 则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz ＝dlogm y2 xz ＝dlogm1＝0. 10．等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则 a13＋a14＋a15＝________. 答案 48 解析 易知 q≠1，∴ S3＝a11－q3 1－q ＝3 S6＝a11－q6 1－q ＝9 ， ∴S6 S3 ＝1＋q3＝3，∴q3＝2. ∴a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12 ＝S3·q12＝3×24＝48. 三、解答题 11．设{an}是等差数列，bn＝ 1 2 an，已知：b1＋b2＋b3＝21 8 ，b1b2b3＝1 8 ，求等差数列的 通项 an. 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则bn＋1 bn ＝ 1 2 an＋1 1 2 an ＝ 1 2 an＋1－an＝ 1 2 d. ∴数列{bn}是等比数列，公比 q＝ 1 2 d. ∴b1b2b3＝b32＝1 8 ，∴b2＝1 2. ∴ b1＋b3＝17 8 b1·b3＝1 4 ，解得 b1＝1 8 b3＝2 或 b1＝2 b3＝1 8 . 当 b1＝1 8 b3＝2 时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0 舍去) 此时，bn＝b1qn－1＝ 1 8 ·4n－1＝22n－5. 由 bn＝ 1 2 5－2n＝ 1 2 an，∴an＝5－2n. 当 b1＝2 b3＝1 8 时，q2＝ 1 16 ，∴q＝1 4 q＝－1 4<0 舍去 此时，bn＝b1qn－1＝2· 1 4 n－1＝ 1 2 2n－3＝ 1 2 an， ∴an＝2n－3. 综上所述，an＝5－2n 或 an＝2n－3. 12．已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是 一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 nan＋3 (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在 t，使得对任意的 n 均有 Sn> t 36 总成立？若存在，求出最大的整数 t；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得 2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2 ∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N*)． (2)bn＝ 1 nan＋3 ＝ 1 2nn＋1 ＝1 2 1 n － 1 n＋1 ， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 2 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝1 2 1－ 1 n＋1 ＝ n 2n＋1. 假设存在整数 t 满足 Sn> t 36 总成立， 又 Sn＋1－Sn＝ n＋1 2n＋2 － n 2n＋1 ＝ 1 2n＋2n＋1>0， ∴数列{Sn}是单调递增的． ∴S1＝1 4 为 Sn 的最小值，故 t 36<1 4 ，即 t<9. 又∵t∈Z，∴适合条件的 t 的最大值为 8. 能力提升 13．已知数列{an}为等差数列，公差 d≠0，其中 ak1，ak2，…，akn 恰为等比数列，若 k1＝1，k2＝5，k3＝17，求 k1＋k2＋…＋kn. 解 由题意知 a25＝a1a17， 即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)． ∵d≠0，由此解得 2d＝a1. 公比 q＝a5 a1 ＝a1＋4d a1 ＝3.∴akn＝a1·3n－1. 又 akn＝a1＋(kn－1)d＝kn＋1 2 a1， ∴a1·3n－1＝kn＋1 2 a1. ∵a1≠0，∴kn＝2·3n－1－1， ∴k1＋k2＋…＋kn＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n ＝3n－n－1. 14．设数列{an}的首项 a1＝1，前 n 项和 Sn 满足关系式： 3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{an}是等比数列； (2)设数列{an}的公比为 f(t)，作数列{bn}，使 b1＝1，bn＝f 1 bn－1 (n＝2,3,4，…)．求数列 {bn}的通项 bn； (3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2n·b2n＋1. (1)证明 由 a1＝S1＝1，S2＝1＋a2， 得 a2＝3＋2t 3t ，a2 a1 ＝3＋2t 3t . 又 3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t， ① 3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t. ② ①－②，得 3tan－(2t＋3)an－1＝0. ∴ an an－1 ＝2t＋3 3t ，(n＝2,3，…)． ∴数列{an}是一个首项为 1， 公比为2t＋3 3t 的等比数列． (2)解 由 f(t)＝2t＋3 3t ＝2 3 ＋1 t ， 得 bn＝f 1 bn－1 ＝2 3 ＋bn－1. ∴数列{bn}是一个首项为 1，公差为2 3 的等差数列． ∴bn＝1＋2 3(n－1)＝2n＋1 3 . (3)解 由 bn＝2n＋1 3 ，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为 1 和5 3 ，公差均为4 3 的等差数列． 于是 b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1 ＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1) ＝－4 3(b2＋b4＋…＋b2n)＝－4 3·1 2n 5 3 ＋4n＋1 3 ＝－4 9(2n2＋3n)． 1．等差数列和等比数列各有五个量 a1，n，d，an，Sn 或 a1，n，q，an，Sn.一般可以“知 三求二”，通过列方程(组)求关键量 a1 和 d(或 q)，问题可迎刃而解． 2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解； ②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．