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- 2021-06-16 发布
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课时训练 13 等比数列的前 n 项和
一、等比数列前 n 项和公式的应用
1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项的和等于( )
A.31 B.33 C.35 D.37
答案:B
解析:∵S5=1,∴
1
(
1
-
25
)
1
-
2
=1,即 a1=
1
31
.
∴S10=
1
(
1
-
210
)
1
-
2
=33.
2.设首项为 1,公比为
2
3
的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
答案:D
解析:Sn=
1
(
1
-
)
1
-
1
-
1
-
1
-
2
3
1
-
2
3
=3-2an,
故选 D.
3.(2015 福建厦门高二期末,7)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 27a2-a5=0,则
4
2
等于( )
A.-27 B.10 C.27 D.80
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为 q,
则 27a2-a2q3=0,解得 q=3,
∴
4
2
1
(
1
-
4
)
1
-
·
1
-
1
(
1
-
2
)=1+q2=10.故选 B.
4.(2015 课标全国Ⅰ高考,文 13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则
n= .
答案:6
解析:∵an+1=2an,即
+1
=2,
∴{an}是以 2 为公比的等比数列.
又 a1=2,∴Sn=
2
(
1
-
2
)
1
-
2
=126.
∴2n=64,∴n=6.
5.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= .
答案:15
解析:由数列{an}首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则
a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.
二、等比数列前 n 项和性质的应用
6.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为( )
A.180 B.108 C.75 D.63
答案:D
解析:由性质可得 S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).
又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.
7.已知数列{an},an=2n,则
1
1 +
1
2
+…+
1
= .
答案:1-
1
2
解析:由题意得:数列{an}为首项是 2,公比为 2 的等比数列,由 an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所
以
1
1 +
1
2
+…+
1
1
2 +
1
22
+…+
1
2
.所以数列
1
是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列.则
1
1 +
1
2
+…+
1
1
2 +
1
22
+…+
1
2
1
2 1
-
1
2
1
-
1
2
=1-
1
2
.
8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求 n 和 q.
解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128.
解方程组
1 128
,
1 + 66
, 得
1 64
,
2
, ①或
1 2
,
64
.②
将①代入 Sn=
1
-
1
-
=126,可得 q=
1
2
,
由 an=a1qn-1,可得 n=6.
将②代入 Sn=
1
-
1
-
=126,可得 q=2,
由 an=a1qn-1 可解得 n=6.
综上可得,n=6,q=2 或
1
2
.
三、等差、等比数列的综合应用
9.已知数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,设
cn=
,Tn=c1+c2+…+cn,当 Tn>2 013 时,n 的最小值为 ( )
A.7 B.9 C.10 D.11
答案:C
解析:由已知 an=2n-1,bn=2n-1,
∴cn=
=2×2n-1-1=2n-1.
∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2×
1
-
2
1
-
2
-n=2n+1-n-2.
∵Tn>2 013,
∴2n+1-n-2>2 013,解得 n≥10,
∴n 的最小值为 10,故选 C.
10.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 S7=77,a1,a3,a11 成等比数列.
(1)求 an;
(2)若 bn=
2
,求{bn}的前 n 项和 Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),由 S7=
7
(
1+ 7
)
2
=77 可得 7a4=77,则 a1+3d=11 ①.
因为 a1,a3,a11 成等比数列,所以
3
2
=a1a11,整理得 2d2=3a1d.
又 d≠0,所以 2d=3a1 ②,
联立①②,解得 a1=2,d=3,所以 an=3n-1.
(2)因为 bn=
2
=23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为 4,公比为 8 的等比数列.
所以 Tn=
4
(
1
-
8
)
1
-
8
23 +2
-
4
7
.
(建议用时:30 分钟)
1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值为( )
A.5 B.4 C.6 D.7
答案:C
解析:显然 q≠1,由 an=a1·qn-1,得 96=3×qn-1.
又由 Sn=
1
-
1
-
,得 189=
3
-
96
1
-
.
∴q=2.∴n=6.
2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,S3,S2 成等差数列,则{an}的公比等于( )
A.1 B.
1
2
C.-
1
2
D.
1+ 5
2答案:C
解析:设等比数列{an}的公比为 q,
由 2S3=S1+S2,得 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得 2q2+q=0,
解得 q=-
1
2
或 q=0(舍去).故选 C.
3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( )
A.2 B.
1
2
C.4 D.
1
4答案:C
解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q=4.
4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则
5
2
=( )
A.11 B.5 C.-8 D.-11
答案:D
解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,
则 8a1q+a1q4=0,解得 q=-2.
∴
5
2
1
(
1
-
5
)
1
-
1
(
1
-
2
)
1
-
1
-
5
1
-
2
=-11.
5.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的
是 ( )
A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)
答案:D
解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,
不妨取等比数列{an}为 an=2n,
则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,
∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 D 正确.
6.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要
的最少天数 n(n∈N*)等于 .
答案:6
解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn=
2
(
1
-
2
)
1
-
2
=2(-
1+2n)≥100,
∴2n≥51,
∴n≥6.
7.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列
1
的前 5 项和
为 .
答案:
31
16解析:易知公比 q≠1.
由 9S3=S6,得 9×
1
(
1
-
3
)
1
-
1
(
1
-
6
)
1
-
,
解得 q=2.
∴
1
是首项为 1,公比为
1
2
的等比数列.
∴其前 5 项和为
1
-
1
2
5
1
-
1
2
31
16
.
8.在等比数列{an}中,若 a1=
1
2
,a4=-4,则公比 q= ;|a1|+|a2|+…+|an|= .
答案:-2 2n-1-
1
2解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2;等比数列{|an|}的公比为
|q|=2,则|an|=
1
2
×2n-1,
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
1
2
(1+2+22+…+2n-1)=
1
2
(2n-1)=2n-1-
1
2
.
9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=4,a3+a4=17.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设 bn=
2
+2
,证明数列{bn}是等比数列并求其前 n 项和 Tn.
(1)解:设等差数列{an}的公差为 d.
由题意知
3 + 4 1 + 2 + 1 + 3 17
,
2 1 + 4
,
解得 a1=1,d=3,
∴an=3n-2(n∈N*).
(2)证明:由题意知,bn=
2
+2
=23n(n∈N*),
bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),
∴
-
1
23
23
-
3
=23=8(n∈N*,n≥2),
又 b1=8,∴{bn}是以 b1=8,公比为 8 的等比数列.
∴Tn=
8×
(
1
-
8
)
1
-
8
8
7
(8n-1).
10.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且
1
1 ,
1
2 ,
1
4
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对 n∈N*,试比较
1
2 +
1
22 +
1
23
+…+
1
2
与
1
1
的大小.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
由题意可知
1
2
2
1
1 ·
1
4
,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2,
因为 d≠0,∴d=a1=a.
故通项公式 an=na.
(2)记 Tn=
1
2 +
1
22
+…+
1
2
,
因为
2
=2na,
所以 Tn=
1
1
2 +
1
22 +
…
+
1
2
=
1
·
1
2 1
-
1
2
1
-
1
2
1
1
-
1
2
.
从而,当 a>0 时,Tn<
1
1
;
当 a<0 时,Tn>
1
1
.
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