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- 2021-06-16 发布
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课时分层作业(四十一) 三角函数应用
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示,则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为( )
A. s B. s
C. s D. s
B [最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期,T= s= s.]
2.如图所示,为一质点作简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该简谐运动的振动周期为0.7 s
B.该简谐运动的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零
B [由图象知,振幅为5 cm,=(0.7-0.3)s=0.4 s,故T=0.8 s,故A错误;该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远,而不能说振动速度最大,故C错误;该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置,而不是振动速度为零,故D错误.]
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
C [由图象知周期T=12,最低点的坐标为(9,2),
代入得×9+φ=2kπ+(k∈Z),
- 7 -
∴φ=2kπ(k∈Z),不妨取φ=0,
当x=6+=15时,y最大,
列式得=3sin+k,
∴=3sin+k,
∴k=5,
∴=k,ymax=8.]
二、填空题
4.如图,某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,0≤φ<2π),则温度变化曲线的函数解析式为________.
y=10sin+20,x∈[6,14] [由图象可知B=20,A==10,
=14-6=8,T=16=,解得ω=.
将(6,10)代入y=10sin+20可得
sin=-1,
由0≤φ<2π可得φ=,
∴y=10sin+20,x∈[6,14].]
5.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是________.
[0,1],[7,12] [由题意可知,y=sin(ωt+φ).
又t=0时,A,∴φ=,
- 7 -
又由T=12可知,ω==,
∴y=sin.
令2kπ-≤t+≤2kπ+,k∈Z,解得12k-5≤t≤12k+1,k∈Z,∵0≤t≤12,∴令k=0,1,得0≤t≤1或7≤t≤12,
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1],[7,12].]
6.一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32 m(即OM的长),巨轮的半径为30 m,AM=BP=2 m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为h(t)m,则h(t)=________.
30sin+30 [本题考查三角函数的实际应用.建立如图所示的直角坐标系,设点B的方程为y=Asin(ωx+φ)+k,由题意知A=30,k=32,φ=-,又因为T=12=,所以ω=,y=30sin+32,所以吊舱P距离地面的高度h(t)=30sin+30.
]
三、解答题
7.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距12 h,低潮时水的深度为8.4 m,高潮时为16 m,一次高潮发生在10月10日4:00.每天涨潮落潮时,水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d=Asin(ωt+φ)+h.
(1)若从10月10日0:00开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系;
(2)10月10日17:00该港口水深约为多少?(精确到0.1 m)
- 7 -
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解] (1)依题意知T==12,
故ω=,h==12.2,
A=16-12.2=3.8,
所以d=3.8sin+12.2.
又因为t=4时,d=16,
所以sin=1,所以φ=-,
所以d=3.8sin+12.2.
(2)t=17时,d=3.8sin+12.2
=3.8sin +12.2≈15.5(m).
(3)令3.8sin+12.2<10.3,
即sin<-,
因此2kπ+
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