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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a必修5学业分层测评6数列的概念与简单表示法word版含解析

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学业分层测评(六) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下面有四个结论,其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③数列若用图象表示,它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正 确. 【答案】 B 2.数列的通项公式为 an= 3n+1,n 为奇数, 2n-2,n 为偶数, 则 a2·a3 等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 【解析】 由 an= 3n+1,n 为奇数, 2n-2,n 为偶数, 得 a2=2,a3=10,所以 a2·a3=20. 【答案】 C 3.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( ) A.an=(-1)n·(2n-1) B.an=(-1)n·(2n-1) C.an=(-1)n+1·(2n-1) D.an=(-1)n+1·(2n-1) 【解析】 数列各项正、负交替,故可用(-1)n 来调节,又 1=21-1,3=22 -1,7=23-1,15=24-1,…,所以通项公式为 an=(-1)n·(2n-1). 【答案】 A 4.(2015·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an=n-1 n+1 ,那么这个数 列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 【解析】 an=n-1 n+1 =1- 2 n+1 ,∴当 n 越大, 2 n+1 越小,则 an 越大,故该 数列是递增数列. 【答案】 A 5.在数列-1,0,1 9 ,1 8 ,…,n-2 n2 ,…中,0.08 是它的( ) A.第 100 项 B.第 12 项 C.第 10 项 D.第 8 项 【解析】 ∵an=n-2 n2 ,令n-2 n2 =0.08,解得 n=10 或 n=5 2(舍去). 【答案】 C 二、填空题 6.(2015·黄山质检)已知数列{an}的通项公式 an=19-2n,则使 an>0 成立的 最大正整数 n 的值为 . 【解析】 由 an=19-2n>0,得 n<19 2 . ∵n∈N*,∴n≤9. 【答案】 9 7.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足 a1=2,a2=4,则 a3= . 【解析】 a1=a+m=2, a2=a2+m=4, ∴a2-a=2, ∴a=2 或-1,又 a<0,∴a=-1. 又 a+m=2,∴m=3, ∴an=(-1)n+3, ∴a3=(-1)3+3=2. 【答案】 2 8.(2015·宁津高二检测)如图 211①是第七届国际数学教育大会(简称 ICME -7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图 211②的一连串直角三角形演化而 成的,其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作 下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为 an= . 图 211 【解析】 因为 OA1=1,OA2= 2,OA3= 3,…, OAn= n,…, 所以 a1=1,a2= 2,a3= 3,…,an= n. 【答案】 n 三、解答题 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)4 5 ,1 2 ,4 11 ,2 7 ,…; (2)1 2 ,2,9 2 ,8,25 2 ,…; (3)1,3,6,10,15,…; (4)7,77,777,…. 【导学号:05920064】 【解】 (1)注意前 4 项中有两项的分子为 4,不妨把分子统一为 4,即为4 5 , 4 8 ,4 11 ,4 14 ,…,于是它们的分母依次相差 3,因而有 an= 4 3n+2. (2)把分母统一为 2,则有1 2 ,4 2 ,9 2 ,16 2 ,25 2 ,…,因而有 an=n2 2 . (3)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分 母都乘以 2,即1×2 2 ,2×3 2 ,3×4 2 ,4×5 2 ,5×6 2 ,…,因而有 an=nn+1 2 . (4)把各项除以 7,得 1,11,111,…,再乘以 9,得 9,99,999,…,因而有 an =7 9(10n-1). 10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a2016; (3)2016 是否为数列{an}中的项? 【解】 (1)设 an=kn+b(k≠0),则有 k+b=2, 17k+b=66, 解得 k=4,b=-2.∴an=4n-2. (2)a2 016=4×2 016-2=8 062. (3)由 4n-2=2 016 得 n=504.5∉N*, 故 2 016 不是数列{an}中的项. [能力提升] 1.已知数列{an}的通项公式 an=log(n+1)(n+2),则它的前 30 项之积是( ) A.1 5 B.5 C.6 D.log23+log3132 5 【 解 析 】 a1·a2·a3·…·a30 = log23×log34×log45×…×log3132 = lg 3 lg 2 ×lg 4 lg 3 ×…×lg 32 lg 31 =lg 32 lg 2 =log232=log225=5. 【答案】 B 2.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则 k 的取值范围 是( ) A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3] 【解析】 an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增, 故应有 an+1-an>0,即 2n+1-k>0 恒成立,分离变量得 k<2n+1,故只需 k<3 即可. 【答案】 B 3.根据图 212 中的 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个 图中有 个点. 图 212 【解析】 观察图形可知,第 n 个图有 n 个分支,每个分支上有(n-1)个点 (不含中心点),再加中心上 1 个点,则有 n(n-1)+1=n2-n+1 个点. 【答案】 n2-n+1 4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n 2 (n∈N*). (1)0 和 1 是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项. 【解】 (1)令 an=0,得 n2-21n=0,∴n=21 或 n=0(舍去),∴0 是数列{an} 中的第 21 项. 令 an=1,得n2-21n 2 =1, 而该方程无正整数解,∴1 不是数列{an}中的项. (2)假设存在连续且相等的两项是 an,an+1, 则有 an=an+1,即n2-21n 2 =n+12-21n+1 2 . 解得 n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第 10 项和第 11 项.