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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(六)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下面有四个结论,其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的;
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数;
③数列若用图象表示,它是一群孤立的点;
④每个数列都有通项公式.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正
确.
【答案】 B
2.数列的通项公式为 an= 3n+1,n 为奇数,
2n-2,n 为偶数,
则 a2·a3 等于( )
A.70 B.28
C.20 D.8
【解析】 由 an= 3n+1,n 为奇数,
2n-2,n 为偶数,
得 a2=2,a3=10,所以 a2·a3=20.
【答案】 C
3.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( )
A.an=(-1)n·(2n-1)
B.an=(-1)n·(2n-1)
C.an=(-1)n+1·(2n-1)
D.an=(-1)n+1·(2n-1)
【解析】 数列各项正、负交替,故可用(-1)n 来调节,又 1=21-1,3=22
-1,7=23-1,15=24-1,…,所以通项公式为 an=(-1)n·(2n-1).
【答案】 A
4.(2015·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an=n-1
n+1
,那么这个数
列是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
【解析】 an=n-1
n+1
=1- 2
n+1
,∴当 n 越大, 2
n+1
越小,则 an 越大,故该
数列是递增数列.
【答案】 A
5.在数列-1,0,1
9
,1
8
,…,n-2
n2
,…中,0.08 是它的( )
A.第 100 项 B.第 12 项
C.第 10 项 D.第 8 项
【解析】 ∵an=n-2
n2
,令n-2
n2
=0.08,解得 n=10 或 n=5
2(舍去).
【答案】 C
二、填空题
6.(2015·黄山质检)已知数列{an}的通项公式 an=19-2n,则使 an>0 成立的
最大正整数 n 的值为 .
【解析】 由 an=19-2n>0,得 n<19
2 .
∵n∈N*,∴n≤9.
【答案】 9
7.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足 a1=2,a2=4,则 a3= .
【解析】 a1=a+m=2,
a2=a2+m=4,
∴a2-a=2,
∴a=2 或-1,又 a<0,∴a=-1.
又 a+m=2,∴m=3,
∴an=(-1)n+3,
∴a3=(-1)3+3=2.
【答案】 2
8.(2015·宁津高二检测)如图 211①是第七届国际数学教育大会(简称 ICME
-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图 211②的一连串直角三角形演化而
成的,其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作
下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为
an= .
图 211
【解析】 因为 OA1=1,OA2= 2,OA3= 3,…,
OAn= n,…,
所以 a1=1,a2= 2,a3= 3,…,an= n.
【答案】 n
三、解答题
9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4
5
,1
2
,4
11
,2
7
,…;
(2)1
2
,2,9
2
,8,25
2
,…;
(3)1,3,6,10,15,…;
(4)7,77,777,…. 【导学号:05920064】
【解】 (1)注意前 4 项中有两项的分子为 4,不妨把分子统一为 4,即为4
5
,
4
8
,4
11
,4
14
,…,于是它们的分母依次相差 3,因而有 an= 4
3n+2.
(2)把分母统一为 2,则有1
2
,4
2
,9
2
,16
2
,25
2
,…,因而有 an=n2
2 .
(3)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分
母都乘以 2,即1×2
2
,2×3
2
,3×4
2
,4×5
2
,5×6
2
,…,因而有 an=nn+1
2 .
(4)把各项除以 7,得 1,11,111,…,再乘以 9,得 9,99,999,…,因而有 an
=7
9(10n-1).
10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于 n 的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求 a2016;
(3)2016 是否为数列{an}中的项?
【解】 (1)设 an=kn+b(k≠0),则有
k+b=2,
17k+b=66,
解得 k=4,b=-2.∴an=4n-2.
(2)a2 016=4×2 016-2=8 062.
(3)由 4n-2=2 016 得 n=504.5∉N*,
故 2 016 不是数列{an}中的项.
[能力提升]
1.已知数列{an}的通项公式 an=log(n+1)(n+2),则它的前 30 项之积是( )
A.1
5 B.5
C.6 D.log23+log3132
5
【 解 析 】 a1·a2·a3·…·a30 = log23×log34×log45×…×log3132 =
lg 3
lg 2
×lg 4
lg 3
×…×lg 32
lg 31
=lg 32
lg 2
=log232=log225=5.
【答案】 B
2.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则 k 的取值范围
是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,3]
【解析】 an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增,
故应有 an+1-an>0,即 2n+1-k>0 恒成立,分离变量得 k<2n+1,故只需 k<3
即可.
【答案】 B
3.根据图 212 中的 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个
图中有 个点.
图 212
【解析】 观察图形可知,第 n 个图有 n 个分支,每个分支上有(n-1)个点
(不含中心点),再加中心上 1 个点,则有 n(n-1)+1=n2-n+1 个点.
【答案】 n2-n+1
4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n
2 (n∈N*).
(1)0 和 1 是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项.
【解】 (1)令 an=0,得 n2-21n=0,∴n=21 或 n=0(舍去),∴0 是数列{an}
中的第 21 项.
令 an=1,得n2-21n
2
=1,
而该方程无正整数解,∴1 不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是 an,an+1,
则有 an=an+1,即n2-21n
2
=n+12-21n+1
2 .
解得 n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第 10 项和第 11 项.
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