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- 2021-06-16 发布
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课时自测·当堂达标
1.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选 D.因为 f′(x)=3x2+2ax+3,所以 f′(-3)=0,
即 3×(-3)2-6a+3=0,解得 a=5.
2.函数 f(x)=x2+x+2 的极小值是 ( )
A.- B.2 C. D. 4
【解析】选 C.f′(x)=2x+1,令 f′(x)=0,解得 x=- ,当 x∈ 时函数单调递减,当
x∈ 时函数单调递增,因此 x=- 是函数的极小值点,极小值为 f = .
3.已知曲线 f(x)=x3+ax2+bx+1 在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x= 是 y=f(x)的极值点,
则 a+b= .
【解析】由题意 f′(1)=3,
f′ =0,
而 f′(x)=3x2+2ax+b,
所以
解得
所以 a+b=-2.
答案:-2
4.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值等于 13,则实数 m 等于 .
【解析】y′=-3x2+12x,由 y′=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极大值,所以-43+6
×42+m=13,解得 m=-19.
答案:-19
5.已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 .
(1)求 a,b 的值.
(2)判断函数 f(x)的单调区间,并求极值.
【解析】(1)因为 f(x)=ax2+blnx,
所以 f′(x)=2ax+ .
又函数 f(x)在 x=1 处有极值 .
故 即
可得 a= ,b=-1.
(2)由(1)可知 f(x)= x2-lnx.
其定义域为(0,+∞).
且 f′(x)=x- = .
令 f′(x)=0,则 x=-1(舍去)或 x=1.
当 x 变化时,f′(x), f(x)的变化情况如表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极
小值 f(1)= ,而无极大值.
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