2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1 14页

www.ks5u.com ‎1.1.2　‎空间向量的数量积运算 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.‎ ‎2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)‎ ‎3.掌握投影向量的概念．(重点)‎ ‎4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)‎ ‎1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.‎ ‎2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.‎ 已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．‎ 如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.‎ 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)‎ 类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？‎ ‎1．空间向量的夹角 ‎(1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．‎ ‎(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ ‎＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.‎ ‎2．空间向量的数量积 ‎(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ 规定：零向量与任何向量的数量积为0.‎ ‎(2)常用结论(a，b为非零向量)‎ ‎①a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.‎ ‎③cos〈a，b〉＝.‎ ‎(3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ‎(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)‎ 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？‎ ‎(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？‎ ‎[提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.‎ ‎(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．‎ ‎3．投影向量 ‎(1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β 上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．‎ ‎[提醒]　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；‎ ‎(2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c⇒b＝c，a·b＝k⇒b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等． (　　)‎ ‎(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． (　　)‎ ‎(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． (　　)‎ ‎(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材P8练习T1改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B　[令底面边长为1，则高也为1，＝＋，＝B＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝1×1×cos 120°＋12＝，‎ 又||＝||＝.‎ ‎∴cos〈AB1，BC1〉＝＝.故选B.]‎ ‎3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ A　[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1.‎ 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3－2＝1.]‎ ‎4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．‎ 　[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2‎ ‎＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)‎ ‎＝1＋4＋9＋2＝17＋6，‎ 所以|a＋b＋c|＝.]‎ 空间向量数量积的运算 ‎【例1】　(1)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　)‎ A．－2　　B．2 C．－2 D．2 ‎(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．‎ ‎(1)A　[∵＝－，∴·＝·(－)＝·－·＝0－2×2×cos 60°＝－2.]‎ ‎(2)[解]　＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋[(－)＋(－)]‎ ‎＝＋＋.‎ ‎∴·(＋＋)＝·(＋＋)‎ ‎＝2＋2＋2‎ ‎＝×22＋×32＋×12＝.‎ 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.‎ (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.‎ (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.‎ (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积：‎ ‎(1)·；(2)·.‎ ‎[解]　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.‎ ‎(1)·＝·(＋)＝b·(c－a)＋b＝|b|2＝42＝16.‎ ‎(2)·＝(＋)·(＋)＝c－a＋b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.‎ 利用数量积证明空间垂直关系 ‎【例2】　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.‎ ‎[思路探究]　首先把向量和均用、、表示出来，通过证明·＝0来证得OG⊥BC.‎ ‎[证明]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，‎ 又设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|.‎ 又＝(＋)‎ ‎＝ ‎＝(a＋b＋c)，＝c－b.‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)‎ ‎＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)‎ ‎＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.‎ ‎∴⊥，即OG⊥BC.‎ 用向量法证明垂直关系的步骤 ‎(1)把几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)用已知向量表示所证向量；‎ ‎(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；‎ ‎(4)将向量问题回归到几何问题．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.‎ ‎[证明]　由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，则·＝0.‎ 由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则·＝0.‎ 又＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.‎ 夹角问题 ‎【例3】　(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．以上都不对 ‎(2)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．‎ ‎[思路探究]　(1)根据题意，构造△ABC，使＝c，＝b，＝a，根据△ABC三边之长，利用余弦定理求出向量a与b之间的夹角即可．‎ ‎(2)求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．‎ ‎(1)D　[∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，‎ ‎∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；‎ 令＝c，＝b，＝a，则△ABC三边之长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4；‎ 由余弦定理，得：cos∠BCA＝＝＝－，‎ 又向量和是首尾相连，‎ ‎∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，‎ 即向量a与b之间的夹角〈a，b〉不是特殊角．]‎ ‎(2)[解]　∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·‎ cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°‎ ‎＝24－16.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.‎ 利用向量数量积求夹角问题的思路 ‎(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．‎ ‎(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：‎ ‎①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；‎ ‎②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；‎ ‎③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；‎ ‎④‎ 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求与夹角的大小．‎ ‎[解]　不妨设正方体的棱长为1，则· ‎＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋2＋·＋· ‎＝0＋＋0＋0＝＝1，‎ 又∵||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.‎ 即与夹角的大小为.‎ 距离问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？‎ ‎[提示]　线段长度即点点距、点线距、点面距．‎ ‎2．求模的大小常用哪些公式？‎ ‎[提示]　由公式|a|＝可以推广为|a±b|＝＝.‎ ‎3.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在平面α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．‎ ‎[提示]　∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·CD＋2·＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，‎ ‎∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.‎ ‎【例4】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．‎ ‎[思路探究]　―→ 注意对〈，〉的讨论，再求出B，D间距离．‎ ‎[解]　∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．‎ ‎∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.‎ 求两点间的距离或线段长的方法 ‎(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．‎ ‎(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝ ‎，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝.‎ ‎(3)可用|a·e|＝|a||cos θ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎4.如图所示，在平面角为120°的二面角αABβ中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．‎ ‎[解]　∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.‎ ‎∵二面角αABβ的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.‎ ‎∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.‎ ‎1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．‎ ‎2．空间向量数量积运算的两种方法 ‎(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．‎ ‎(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．‎ ‎3．在几何体中求空间向量数量积的步骤 ‎(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．‎ ‎(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．‎ ‎(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．‎ ‎4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos〈a，b〉＝，解题的关键就是求a·b和|a|、|b|.求模时注意|a|2＝a·a的应用．‎ ‎1.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝(　　)‎ A．　B． C． D． B　[由题意可得＝，∴·＝×1×1×cos 60°＝.]‎ ‎2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ B　[设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]‎ ‎3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.‎ ‎0　[原式＝·＋·＋·(－)‎ ‎＝·(－)＋·(＋)‎ ‎＝·＋·＝0.]‎ ‎4.如图所示，在一个直二面角αABβ的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．‎ ‎2　[∵＝＋＋＝－＋，‎ ‎∴2＝(－＋)2‎ ‎＝2＋2＋2－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，‎ ‎∴||＝2.]‎ ‎5.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点．‎ ‎(1)求证：MN为AB和CD的公垂线；‎ ‎(2)求MN的长；‎ ‎(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值．‎ ‎[解]　设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意，可知|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.‎ ‎(1)证明：＝－＝(＋)－ ‎＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p ‎＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2·cos 60°＋a2·cos 60°－a2)＝0‎ ‎∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.‎ ‎∴MN为AB与CD的公垂线．‎ ‎(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，‎ ‎∴||2＝()2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]‎ ‎＝(a2＋a2＋a2＋2]＝×2a2＝.‎ ‎∴||＝a，‎ ‎∴MN的长度为a.‎ ‎(3)设向量与的夹角为θ，‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 又∵||＝||＝a，‎ ‎∴·＝||·||·cos θ＝a·a·cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝.‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为.‎ 从而异面直线AN与MC所成角的余弦值为.‎