高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-4学业分层测评word版含答案 7页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设随机变量ξ～N(2,2)，则 D 1 2ξ ＝( ) A．1 B．2 C.1 2 D．4 【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2. ∴D 1 2ξ ＝ 1 22D(ξ)＝1 4 ×2＝1 2. 【答案】 C 2．下列函数是正态密度函数的是( ) A．f(x)＝ 1 2σπe x－μ2 2σ2 ，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝ 2π 2π e－ x2 2 C．f(x)＝ 1 2 2πe－ x－12 4 D．f(x)＝ 1 2πex2 2 【解析】 对于 A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号 是正的，故 A 错误；对于 B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故 B 正确；对于 C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝ 2，故 C 不正确；对于 D，指数部分缺少一个负号，故 D 不正确． 【答案】 B 3．(2015·湖北高考)设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线 如图 246 所示，下列结论中正确的是( ) 图 246 A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t) 【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝1 2 ， P(Y≥μ1)＞1 2 ，故 P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故 A 错； 因为σ1＜σ2，所以 P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故 B 错； 对任意正数 t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故 C 错； 对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D. 【答案】 D 4．某厂生产的零件外直径 X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午 生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 7.9 mm 和 7.5 mm，则可认为 ( ) A．上、下午生产情况均为正常 B．上、下午生产情况均为异常 C．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D．上午生产情况异常，下午生产情况正常 【解析】 根据 3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异 常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常． 【答案】 C 5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ －2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【解析】 由正态分布的概率公式知 P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6) ＝0.954 4，故 P(3＜ξ＜6)＝P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3 2 ＝ 0.954 4－0.682 6 2 ＝0.135 9＝13.59%，故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为 0.5，那么相应的正态曲线 f(x)在 x＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】 【解析】 由正态曲线关于直线 x＝μ对称且在 x＝μ处达到峰值和其落在区间 (0.2，＋∞)内的概率为 0.5，得μ＝0.2. 【答案】 0.2 7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概 率相等，那么这个正态总体的数学期望为________． 【解析】 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上 位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等， 说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关 于直线 x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于 x＝1 对称(－1 的对称点是 3，－3 的对称点是 5)，所以数学期望为 1. 【答案】 1 8．已知正态分布 N(μ，σ2)的密度曲线是 f(x)＝ 1 2πσe－x－μ2 2σ2 ，x∈R.给出以下四个命题： ①对任意 x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立； ②如果随机变量 X 服从 N(μ，σ2)，且 F(x)＝P(X2)＝p，则 P(00)，若 X 在(0,2]内 取值的概率为 0.2，求： (1)X 在(0,4]内取值的概率； (2)P(X>4)． 【解】 (1)由于 X～N(2，σ2)，对称轴 x＝2，画出示意图如图． 因为 P(04)＝1 2[1－P(0－a)(a>0)； ②P(|ξ|0)； ③P(|ξ|0)； ④P(|ξ|a)(a>0)． 【解析】 因为 P(|ξ|a)＝P(ξa)＝1， 所以 P(|ξ|a)(a>0)，所以④正确． 【答案】 ②④ 4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的 一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： 图 248 (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x－和样本方差 s2(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，其 中μ近似为样本平均数 x－，σ2 近似为样本方差 s2. ①利用该正态分布，求 P(187.8