高中数学（人教版a版必修一）配套课时作业：第三章函数的应用3-1-1word版含解析 8页

第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的 个数，理解二次函数的图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2. 理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性 定理． 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根的关系 函数图象 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 与 x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个 方程的根 ____个 ____个 无解 2.函数的零点 对于函数 y＝f(x)，我们把________________叫做函数 y＝f(x)的零点． 3．方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)＝0__________⇔函数 y＝f(x)的图象______________⇔函数 y＝ f(x)__________． 4．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有 ____________，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在 c∈(a， b)，使得__________，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 一、选择题 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 2．若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法 正确的是( ) A．若 f(a)f(b)>0，不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 B．若 f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 C．若 f(a)f(b)>0，有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 D．若 f(a)f(b)<0，有可能不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 3．若函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零点 是( ) A．0，－1 2B．0，1 2 C．0,2D．2，－1 2 4．函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 5．函数 f(x)＝ x2＋2x－3， x≤0， －2＋lnx，x>0 零点的个数为( ) A．0B．1 C．2D．3 6．已知函数 y＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象如图所示，则实数 b 的取值范围是 ( ) A．(－∞，0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2，＋∞) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，－2 是它的一个零点，且在(0，＋∞) 上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数 f(x)＝lnx－x＋2 的零点个数为________． 9．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个实根所在的区间为(k， k＋1)(k∈N)，则 k 的值为________． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 三、解答题 10．证明：方程 x4－4x－2＝0 在区间[－1,2]内至少有两个实数解． 11．关于 x 的方程 mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0 有两实根，且一个大于 4，一 个小于 4，求 m 的取值范围． 能力提升 12．设函数 f(x)＝ x2＋bx＋c，x≤0， 2，x>0， 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程 f(x)＝x 的 解的个数是( ) A．1B．2 C．3D．4 13．若方程 x2＋(k－2)x＋2k－1＝0 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求 k 的取值范围． 1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系 (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的根，因此判断 一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有实根，有几 个实根． (3)函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数 y＝f(x) 的图象与 y＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．并不是所有的函数都有零点，如函数 y＝1 x. 3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函 数值也不一定变号．如函数 y＝x2 有零点 x0＝0，但显然当它通过零点时函数值 没有变号． 第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 知识梳理 1．2 1 0 2 1 2.使 f(x)＝0 的实数 x 3.有实数根 与 x 轴有交点 有零 点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计 1．C [方程 ax2＋bx＋c＝0 中，∵ac<0，∴a≠0， ∴Δ＝b2－4ac>0， 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有 2 个不同实数根， 则对应函数的零点个数为 2 个．] 2．C [对于选项 A，可能存在根； 对于选项 B，必存在但不一定唯一； 选项 D 显然不成立．] 3．A [∵a≠0,2a＋b＝0， ∴b≠0，a b ＝－1 2. 令 bx2－ax＝0，得 x＝0 或 x＝a b ＝－1 2.] 4．C [∵f(x)＝ex＋x－2， f(0)＝e0－2＝－1<0， f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0， ∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．] 5．C [x≤0 时，令 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3. x>0 时，f(x)＝lnx－2 在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f(x)在 R 上有 2 个零点．] 6．A [设 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由 f(0)＝0 可得 d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c) ＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由 x∈(0,1)时 f(x)>0，可得 a>0，∴b<0.] 7．3 0 解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由 奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由 f(2)＝－f(－2)＝0.因 此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上 f(x)在 R 上共有 3 个零点，其和为－2＋0 ＋2＝0. 8．2 解析 该函数零点的个数就是函数 y＝lnx 与 y＝x－2 图象的交点个数．在同一 坐标系中作出 y＝lnx 与 y＝x－2 的图象如下图： 由图象可知，两个函数图象有 2 个交点，即函数 f(x)＝lnx－x＋2 有 2 个零点． 9．1 解析 设 f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知 f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以 方程的一个实根在区间(1,2)内，即 k＝1. 10．证明 设 f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线． 因为 f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解． 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令 f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14. 依题意得 m>0 f4<0 或 m<0 f4>0 ， 即 m>0 26m＋38<0 或 m<0 26m＋38>0 ，解得－19 130. 当 x≤0 时，方程为 x2＋4x＋2＝x， 即 x2＋3x＋2＝0， ∴x＝－1 或 x＝－2； 当 x>0 时，方程为 x＝2， ∴方程 f(x)＝x 有 3 个解．] 13．解 设 f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1. ∵方程 f(x)＝0 的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内， ∴ f0>0 f1<0 f2>0 ，即 2k－1>0 1＋k－2＋2k－1<0 4＋2k－4＋2k－1>0 ∴1 2