高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.1.3 导数的几何意义 11页

1.1.3 导数的几何意义 明目标、知重点 1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义． 3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． 1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0 ＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx . 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线 AD 叫 做此曲线在点 A 处的切线．于是，当Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . (2)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜 率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)．相应地，切线方 程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导数 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′， 即 f′(x)＝y′＝lim Δx→0 fx＋Δx－fx Δx . 情境导学] 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的 实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这 就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义 思考 1 如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn 的变化趋势是什么？ 答 当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处 的切线，该切线的斜率为lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 k＝f′(x0)． 思考 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交 点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于 确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如 l2. 思考 3 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 答 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出 k＝f′(x0)， 利用点斜式写出切线即可；而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲 线上，既使在曲线上也不一定是切点． 小结 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点 P(x0， f(x0))． 思考 4 如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ 答 先确定切点 P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率 k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方 程． 例 1 已知曲线 y＝x2， (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(3,5)的切线方程． 解 (1)设切点为(x0，y0)， ∵y′|x＝x0＝lim Δx→0 x0＋Δx2－x2 0 Δx ＝lim Δx→0 x2 0＋2x0·Δx＋Δx2－x2 0 Δx ＝2x0， ∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. (2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0， ∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0)，① 再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x2 上得 y0＝x2 0，② 联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时， 切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为 k2＝2x0＝10， 此时切线方程为 y－25＝10(x－5)， 即 y＝10x－25. 综上所述，过点 P(3,5)且与曲线 y＝x2 相切的直线方程为 y＝2x－1 或 y＝10x－25. 小结 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利 用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解 答． 跟踪训练 1 已知曲线 y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程． 解 y′＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 [2x＋Δx2－7]－2x2－7 Δx ＝lim Δx→0 (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． 即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线 4x－y－2＝0. (2)由于点 P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0， 故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)． 将 P(3,9)及 y0＝2x2 0－7 代入上式， 得 9－(2x2 0－7)＝4x0(3－x0)． 解得 x0＝2 或 x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为 8x－y－15＝0 和 16x－y－39＝0. 跟踪训练 2 若曲线 y＝x3＋3ax 在某点处的切线方程为 y＝3x＋1，求 a 的值． 解 ∵y＝x3＋3ax. ∴y′＝lim Δx→0 x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax Δx ＝lim Δx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx Δx ＝lim Δx→0 3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a. 设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)， 结合已知条件，得 3x2 0＋3a＝3， x3 0＋3ax0＝y0＝3x0＋1， 解得 a＝1－ 3 2 2 ， x0＝－ 3 4 2 . ∴a＝1－ 3 2 2 . 探究点二 导数与函数的单调性 思考 1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0 时)曲线与那一小段线段有何关系？ 答 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线． 思考 2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图， 若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？ 答 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性． 思考 3 如上右图，当 t 在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？ 答 会．当 t 变化时 h′(t)便是 t 的一个函数，我们称它为 h(t)的导函数． 例 2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)＝－4.9t2 ＋6.5t＋10 的图象．根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在 t0，t1，t2 附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调 性． 解 用曲线 h(t)在 t0，t1，t2 处的切线，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． (1)当 t＝t0 时，曲线 h(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 t 轴．所以，在 t＝t0 附近曲线比较平坦， 几乎没有升降． (2)当 t＝t1 时，曲线 h(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 h′(t1)<0.所以，在 t＝t1 附近曲线下降， 即函数 h(t)在 t＝t1 附近单调递减． (3)当 t＝t2 时，曲线 h(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 h′(t2)<0.所以，在 t＝t2 附近曲线下降， 即函数 h(t)在 t＝t2 附近也单调递减． (4)从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明曲线 h(t)在 t1 附近 比在 t2 附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个 区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快． 反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系： (1)若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数 y＝f(x) 在 x＝x0 附近的图象是上升的；若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢． 2．导数与函数单调性的关系： (1) 若函数 y＝f(x)在区间 a，b]恒有 f′(x) >0，则 y＝f(x)在区间 a，b]上是增函数；若恒 有 f′(x) <0，则 y＝f(x)在区间 a，b]上是减函数． (2)若函数 y＝f(x)在区间 a，b]是增函数，则 f′(x)≥0；若函数 y＝f(x)在区间 a，b]是减 函数，则 f′(x)≤0. 跟踪训练 3 (1)根据例 2 图象，描述函数 h(t)在 t3 和 t4 附近增(减)以及增(减)快慢的情况． 解 函数 h(t)在 t3、t4 处的切线的斜率 h′(t)>0，所以，在 t＝t3，t＝t4 附近单调递增，且 曲线 h(t)在 t3 附近比在 t4 附近递增得快． (2)若函数 y＝f(x)的导函数在区间 a，b]上是增函数，则函数 y＝f(x)在区间 a，b]上的图象 可能是( ) 答案 A 解析 依题意，y＝f′(x)在 a，b]上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线的斜率 随着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有 A 满足． 1．已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 答案 C 解析 f′(2)＝lim Δx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝lim Δx→0 22＋Δx2－8 Δx ＝lim Δx→0 (8＋2Δx)＝8，即 k＝8. 2．若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案 A 解析 由题意，知 k＝y′|x＝0 ＝lim Δx→0 0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b Δx ＝1， ∴a＝1. 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选 A. 3．已知曲线 y＝f(x)＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16.则 P 点坐标为________． 答案 (3,30) 解析 设点 P(x0,2x2 0＋4x0)， 则 f′(x0)＝lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝lim Δx→0 2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx Δx ＝4x0＋4， 令 4x0＋4＝16 得 x0＝3，∴P(3,30)． 呈重点、现规律] 1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0 ，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本 质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0 处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该 点为切点的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0， f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点. 一、基础过关 1．下列说法正确的是( ) A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可能存在 答案 C 解析 k＝f′(x0)，所以 f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存 在时，切线方程也可能存在，其切线方程为 x＝x0. 2.已知 y＝f(x)的图象如图所示，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)