2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1 9页

www.ks5u.com ‎1.3　空间向量及其运算的坐标表示 ‎1.3.1　‎空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解空间直角坐标系的建立过程．‎ ‎2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)‎ ‎3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)‎ ‎1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．‎ ‎2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.‎ ‎(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？‎ 数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；‎ ‎(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？‎ 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．‎ ‎(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？‎ ‎1．空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 ‎2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　)‎ ‎(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0. (　　)‎ ‎(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　)‎ A．(－1,1，－1)　　　 B．(－i，j，－k)‎ C．(1，－1，－1) D．不确定 D　[向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]‎ ‎3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若以{，，}为基底，则＝________，的坐标是________．‎ ＋＋　 (1,1,1)　[若以{，，}为基底，∵＝＋＝＋＋＝＋＋ ‎∴的坐标为(1,1,1)．]‎ 求空间点的坐标 ‎【例1】　如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；‎ ‎(2)求点N的坐标．‎ ‎[思路探究]　将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标．‎ ‎[解]　(1)显然D(0,0,0)，‎ 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，‎ 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．‎ 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．‎ ‎(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，‎ 则C1C的中点N为，‎ 即N.‎ 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 ‎(x,0,0)‎ xOy平面上 ‎(x，y,0)‎ y轴上 ‎(0，y,0)‎ yOz平面上 ‎(0，y，z)‎ z轴上 ‎(0,0，z)‎ xOz平面上 ‎(x,0，z)‎ 坐标原点 ‎(0,0,0)‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．‎ ‎[答案]　E，F 求对称点的坐标 ‎【例2】　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．‎ ‎(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；‎ ‎(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；‎ ‎(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．‎ ‎[思路探究]　求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．‎ ‎[解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．‎ ‎(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．‎ ‎(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．‎ ‎1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”‎ 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：‎ 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c)‎ x轴 ‎(a，－b，－c)‎ y轴 ‎(－a，b，－c)‎ z轴 ‎(－a，－b，c)‎ xOy平面 ‎(a，b，－c)‎ yOz平面 ‎(－a，b，c)‎ xOz平面 ‎(a，－b，c)‎ 坐标原点 ‎(－a，－b，－c)‎ ‎2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．‎ ‎(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3)　[点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．‎ 则解得 故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]‎ 空间向量的坐标表示 ‎[探究问题]‎ ‎1．在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？‎ ‎[提示]　分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎2．若＝(a，b，c)，则的坐标是多少？‎ ‎[提示]　＝(－a，－b，－c)．【例3】　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．‎ ‎[思路探究]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．‎ ‎[解]　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．‎ ‎∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)，‎ 而＝－＝－＋，‎ ‎∴的坐标为(1，－1,2)．‎ 又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．‎ 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，‎ ‎∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．‎ ‎[变条件]本例中，若把条件“AA1＝2”改为“AA1＝1”，结果怎样？‎ ‎[解]　建系方式与例题相同，建系，＝－＋，因为{，，}为单位正交基底，‎ ‎∴＝.‎ 又＝－＋，∴＝(1，－1,1)．‎ 所以＝－＝(－1,1，－1)．‎ 用坐标表示空间向量的步骤 ‎[跟进训练]‎ ‎3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．‎ ‎(1)写出各顶点的坐标； ‎ ‎(2)写出向量，，的坐标．‎ ‎[解]　(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，‎ ‎(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，‎ 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．‎ 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．‎ ‎1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”‎ ‎2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．‎ ‎1．设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(　　)‎ A．(1,1，－1) B．(－1，－1，－1)‎ C．(－1，－1,1) D．(1，－1,1)‎ B　[由条件知，P1(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点为(－1，－1，－1)．]‎ ‎2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)‎ A．(1,1,1) B． C．(3,2,5) D．(3,2，－5)‎ C　[＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．]‎ ‎3．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，则AB的中点M的坐标为________．‎ 　[AB的中点坐标为，即.]‎ ‎4.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，分别以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．‎ ‎[解]　设＝e1，＝e2，＝e3，则＝＝e2，‎ ＝＋＋ ‎＝＋＋ ‎＝＋＋(＋＋)‎ ‎＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)‎ ‎＝－e1＋e3，‎ ‎∴＝，＝(0,1,0)．‎