高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷 21页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求 的。 （1）已知集合      5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1  BAU ，则  ( )U UA B ＝（ ） （A） 6,1 （B） 5,4 （C） 7,5,4,3,2 （D）{ 7,6,3,2,1 } （2）在等差数列 na 中，若 4 6 12a a  ， nS 是数列的 na 的前 n 项和，则 9S 的值为（ ） （A）48 (B)54 (C)60 （D）66 （3）过坐标原点且与圆 2 2 54 2 02x y x y     相切的直线方程为（ ） （A） xyxy 3 13  或 （B） xyxy 3 13  或 （C） xyxy 3 13  或 （D） xyxy 3 13  或 （4）对于任意的直线l 与平面 ，在平面 内必有直线 m ，使 m 与l （ ） （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 （5）若 n x x        13 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ） （A）－540 （B）－162 （C）162 （D）540 （6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg）， 得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100 名学生中体重在 5.64,5.56 的学生人数是（ ） （A）20 （B）30 （C）40 （D）50 （7）与向量 7 1 1 7, , ,2 2 2 2a b              的夹角相等，且模为 1 的向量是（ ） （A）       5 3,5 4 （B）           5 3,5 4 5 3,5 4 或 （C）        3 1,3 22 （D）             3 1,3 22 3 1,3 22 或 （8）将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（ ） （A）30 种 （B）90 种 （C）180 种 （D）270 种 （9）如图所示，单位圆中 AB 的长为 x ， ( )f x 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形 面积的 2 倍，则函数 ( )y f x 的图像是（ ） （10）若 , , 0a b c  且 ( ) 4 2 3,a a b c bc     则 2a b c  的最小值为（ ） （A） 3 1 （B） 3 1 （C） 2 3 2 （D） 2 3 2 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数 3 1 2 3 i i   的值是 。 （12） 2 1 3 (2 1)lim 2 1n n n n        。 （13）已知  3 3, , ,sin ,4 5            12sin( )4 13    ，则 cos( )4    。 （14）在数列 na 中，若 1 11, 2 3( 1)n na a a n    ，则该数列的通项 na  。 （ 15 ） 设 0, 1a a  ， 函 数 2lg( 2 3)( ) x xf x a   有 最 大 值 ， 则 不 等 式  2log 5 7 0a x x   的 解 集 为 。 （16）已知变量 ,x y 满足约束条件1 4, 2 2.x y x y       若目标函数 z ax y  （其中 0a  ）仅在 点 3,1 处取得最大值，则 a 的取值范围为 。 三、解答题：三大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 13 分） 设函数 2( ) 3 cos sinf x x xcos x      （其中 0, R   ），且 ( )f x 的图象在 y 轴右侧的 第一个最高点的横坐标为 6  。 （I）求 的值。 （II）如果 ( )f x 在区间 5,3 6      上的最小值为 3 ，求 的值。 （18）（本小题满分 13 分） 某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层载有 5 位乘客， 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 1 3 ，用 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，求： （I）随机变量 的分布列; （II）随机变量 的期望; （19）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 ABCD， DAB 为 直角， //AB CD , 2 ,AD CD AB  E、F 分别为 PC 、CD 中点。 （I）试证： CD  平面 BEF ; （II）高 PA k AB  ，且二面角 E BD C  的平面角大小30 ， 求 k 的取值范围。 （20）（本小题满分 13 分） 已知函数  2 2( )f x x bx c e   ，其中 ,b c R 为常数。 （I）若 2 4 1b c  ，讨论函数 ( )f x 的单调性； （II）若 2 4( 1)b c  ，且 ( )lim 4x f x c x   ，试证： 6 2b   （21）（本小题满分 12 分） 已知定义域为 R 的函数 ( )f x 满足  2 2( ) ( ) .f f x x x f x x x     （I）若 (2) 3f  ，求 (1)f ;又若 (0)f a ，求 ( )f a ; （II）设有且仅有一个实数 0x ，使得 0 0( )f x x ，求函数 ( )f x 的解析表达式 （22）（本小题满分 12 分） 已知一列椭圆 2 2 2: 1,0 1n n n yc x bb     。 1,2n  ……。 若椭圆 nC 上有一点 nP ，使 nP 到右准线 nl 的距离 nd 是 n np F 与  n nP G 的等差中项，其中 nF 、 nG 分别是 nC 的左、右焦点。 （I）试证： 3 2nb   1n  ; （II）取 2 3 2n nb n   ，并用 nS 表示 n n nP F G 的面积，试 证： 1 2S S 且 1n nS S   3n  2006 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A C B B D D （1）已知集合      5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1  BAU ， U Að ={1，3，6}， U Bð ={1，2，6，7}，则   ( )U UA B ＝{1，2，3，6，7}，选 D. （ 2 ） 在 等 差 数 列  na 中 ， 若 4 6 12a a  ， 则 5 6a  ， nS 是 数 列 的  na 的 前 n 项 和 ， 则 9S = 1 9 5 9( ) 92 a a a  =54，选 B. （3）过坐标原点的直线为 y kx ，与圆 2 2 54 2 02x y x y     相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距 离等于半径 10 2 ，则 2 | 2 1| 10 21 k k    ，解得 1或 33k k   ，∴ 切线方程为 xyxy 3 13  或 ，选 A. （4）对于任意的直线l 与平面 ，若l 在平面α内，则存在直线 m⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α， 则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线， 在平面 内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m 与l 垂直，综上所述，选 C. （ 5 ） 若 n x x        13 的 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 2n =64 ， 6n  ， 则 展 开 式 的 常 数 项 为 3 3 3 6 1(3 ) ( )C x x   =－540，选 A. （6）为了了解某地区高三学生的身体发 育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁－18 岁的男生体重（kg），得到频率分 布直方图如下：根据该图可知，组距=2， 得这 100 名学生中体重在 5.64,5.56 的 学 生 人 数 所 占 的 频 率 为 (0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段 学生的人数是 40，选 C. （ 7 ） 与 向 量 7 1 1 7, , ,2 2 2 2a b              的夹角相等， 且模为 1 的向量为(x，y)，则 2 2 1 7 1 1 7 2 2 2 2 x y x y x y       ，解得 4 5 3 5 x y      或 4 5 3 5 x y      ，选 B. （8）将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成 三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有 1 2 5 4 2 2 15C C A   种方法，再将 3 组分到 3 个班，共有 3 315 90A  种不 同的分配方案，选 B. （9）如图所示，单位圆中 AB 的长为 x ， ( )f x 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍，当 AB 的长小于半圆时，函数 ( )y f x 的值增加的越来越快，当 AB 的长大于半圆 时，函数 ( )y f x 的值增加的越来越慢，所以函数 ( )y f x 的图像是 D. （10）若 , , 0a b c  且 ( ) 4 2 3,a a b c bc     所以 2 4 2 3a ab ac bc     ， 2 2 2 2 21 14 2 3 (4 4 4 2 2 ) (4 4 4 2 )4 4a ab ac bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c              ≤ ∴ 2 2(2 3 2) (2 )a b c  ≤ ，则( 2a b c  )≥ 2 3 2 ，选 D. 二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分。 （11） 1 7 10 10 i （12） 1 2 （13） 56 65  （14） 12 3n  （15） 2,3 （16） 1a  （11）复数 3 1 2 3 i i   =1 2 (1 2 )(3 ) 1 7 3 10 10 i i i i i      。 （12） 2 1 3 (2 1)lim 2 1n n n n        2 2 1lim 2 1 2n n n n   。 （13）已知  3 3, , ,sin ,4 5            12sin( )4 13    ， 3( ,2 )2     ， 3( , )4 2 4      ， ∴ 4cos( ) 5    ， 5cos( )4 13     ， 则 cos( )4    cos[( ) ( )]4      = cos( )cos( ) sin( )sin( )4 4            = 4 5 3 12 56( ) ( )5 13 5 13 65        （14）在数列 na 中，若 1 11, 2 3( 1)n na a a n    ，∴ 1 3 2( 3)( 1)n na a n     ，即{ 3na  }是以 1 3 4a   为首项，2 为公比的等比数列， 1 13 4 2 2n n na      ，所以该数列的通项 na  12 3n  . （15）设 0, 1a a  ，函数 2lg( 2 3)( ) x xf x a   有最大值，∵ 2lg( 2 3) lg 2x x  ≥ 有最小值，∴ 0