高中数学（人教版必修2）配套练习 第一章1柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 4页

第 2 课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 一、基础过关 1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的1 2 时，它的体积是原来的 ( ) A.1 2 B.1 4 C.1 8 D. 2 4 2．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 3．已知直角三角形的两直角边长为 a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成 的几何体的体积之比为 ( ) A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2 4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 cm，则钢球的半径是 ________ cm. 6．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥 A－BB1D1D 的体积为______ cm3. 7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______． 8．在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA＝PB＝PC＝a，求这 个球的体积． 二、能力提升 9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( ) A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3 C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确 10．圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的体积和表面积分别为 ( ) A．2π，6π B．3π，5π C．4π，6π D．2π，4π 11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3. 12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球， 并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 三、探究与拓展 13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这 个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 答案 1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6 7．(1)球 (2)球 8．解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a. ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径． ∴2R＝ 3a，R＝ 3 2 a， ∴V＝4 3πR3＝4 3π( 3 2 a)3＝ 3 2 πa3. 9．A 10.A 11.9π＋18 12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 3r，则容器内水的体积 为 V＝V 圆锥－V 球＝1 3π·( 3r)2·3r－4 3πr3＝5 3πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为 h， 则水面圆的半径为 3 3 h， 从而容器内水的体积是 V′＝1 3π·( 3 3 h)2·h＝1 9πh3， 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即容器中水的深度为 3 15r. 13．解 设正方体的棱长为 a.如图所示． (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点 及球心作截面， 所以有 2r1＝a， r1＝a 2 ， 所以 S1＝4πr21＝πa2. (2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 2r2＝ 2a，r2＝ 2 2 a， 所以 S2＝4πr22＝2πa2. (3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面， 所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 3 2 a， 所以 S3＝4πr23＝3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.