高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.1.1 变化率问题 11页

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 明目标、知重点 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 1．函数的变化率 定义 实例 平均变 化率 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 fx2－fx1 x2－x1 ，简记作：Δy Δx ①平均速度；②曲线割线的斜 率 瞬时变 化率 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x) 从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在Δx→0 时的极限， 即lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx ①瞬时速度：物体在某一时刻 的速度；②切线斜率 2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率称为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 情境导学] 某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4℃，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分 别是 24.4℃和 18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天 气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5℃和 5 月 28 日最高 气温 18.6℃进行比较，可以发现二者温差为 15.1℃，甚至超过了 14.8℃，而人们却不会发出 上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那 么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考 1 气球膨胀率 很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球 的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系是 r(V)＝ 3 3V 4π ， (1)当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为r1－r0 1－0 ≈0.62(dm/L)． (2)当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气球半径增加了 r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r2－r1 2－1 ≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的平均膨胀率是rV2－rV1 V2－V1 . 思考 2 高台跳水 人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位： s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度 v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在 0≤t≤0.5 这段时间里， v ＝h0.5－h0 0.5－0 ＝4.05(m/s)； ②在 1≤t≤2 这段时间里， v ＝h2－h1 2－1 ＝－8.2(m/s)． 由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢． 思考 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考 1 和思考 2 中的平均变化率分别表示 什么？ 答 如果上述两个思考中的函数关系用 y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子 fx2－fx1 x2－x1 表示，我们把这个式子称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，平均变化率可以 描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考 1 中的平均变化率表示在空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球半径的平均增长率．思考 2 中的平均变化率表示在时间从 t1 增加到 t2 时，高度 h 的平均增长率． 思考 4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy、Δx 的意义是什么？Δy Δx 有什么几何意 义？ 答 Δx 表示 x2－x1 是相对于 x1 的一个“增量”；Δy 表示 f(x2)－ f(x1)．Δx、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零． 观察图象可看出，Δy Δx 表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2)) 连线的斜率． 小结 平均变化率为Δy Δx ＝fx2－fx1 x2－x1 ，其几何意义是：函数 y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、 (x2，f(x2))连线的斜率． 例 1 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当 x1＝4，x2＝5 时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (2)求当 x1＝4，x2＝4.1 时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x2 1＋3x1－5) ＝2(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝2(Δx)2＋19Δx. Δy Δx ＝2Δx2＋19Δx Δx ＝2Δx＋19. (1)当 x1＝4，x2＝5 时，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21. (2)当 x1＝4，x2＝4.1 时Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92. Δy Δx ＝2Δx＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝fx2－fx1 x2－x1 ＝f5－f4 5－4 ， 它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝fx2－fx1 x2－x1 ＝f4.1－f4 4.1－4 ， 它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝fx2－fx1 x2－x1 . 跟踪训练 1 (1)计算函数 h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10 从 x＝1 到 x＝1＋Δx 的平均变化率，其 中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)思考：当|Δx|越来越小时，函数 h(x)在区间 1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋 势？ 解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1) ＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， ∴Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2 时，Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当Δx＝1 时，Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当Δx＝0.1 时，Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当Δx＝0.01 时，Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. (2)当|Δx|越来越小时，函数 f(x)在区间 1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－ 3.3. 探究点二 函数在某点处的导数 思考 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t 的函数关系 h(t)＝－4.9t2＋ 6.5t＋10， 易知 h(65 49 )＝h(0)， v ＝ h65 49－h0 65 49 －0 ＝0， 而运动员依然是运动状态． 思考 2 观察跟踪训练 1，当Δx＝0.000 01 时，Δy Δx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态 吗？ 答 Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个 常数，这个常数就是 x＝1 这一时刻的速度． 思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率 的关系如何？ 答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求 t＝2 时的瞬时速度，可考 察在 t＝2 附近的一个间隔Δt，当Δt 趋近于 0 时，平均速度 v 趋近于lim Δt→0 h2＋Δt－h2 Δt ， 这就是物体在 t＝2 时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函 数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx 叫做函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数． 思考 4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？ 答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率： 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx . 例 2 利用导数的定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数． 解 由导数的定义知，函数在 x＝2 处的导数 f′(2)＝ lim Δx→0 f2＋Δx－f2 Δx ，而 f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－ (Δx)2－Δx， 于是 f′(2)＝lim Δx→0 －Δx2－Δx Δx ＝lim Δx→0 (－Δx－1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx ； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx . 跟踪训练 2 求函数 f(x)＝3x2－2x 在 x＝1 处的导数． 解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝3(Δx)2＋4Δx， ∵Δy Δx ＝3Δx2＋4Δx Δx ＝3Δx＋4， ∴y′|x＝1＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 (3Δx＋4)＝4. 例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在 第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解 在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f′(2)和 f′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f2＋Δx－f2 Δx ＝2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15 Δx ＝4Δx＋Δx2－7Δx Δx ＝Δx－3， 所以，f′(2)＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 (Δx－3)＝－3. 同理可得，f′(6)＝5. 在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 与 5.它说明在第 2 h 附近，原油温 度大约以 3 ℃/h 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx ，当Δx 趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函数在 x0 处的 瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它 们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快． 跟踪训练 3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位： s)之间的关系式为 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在 t＝65 98 s 时的瞬时速度，并解释此 时的运动状况． 解 令 t0＝65 98 ，Δt 为增量． 则ht0＋Δt－ht0 Δt ＝ －4.9× 65 98 ＋Δt 2＋6.5× 65 98 ＋Δt ＋10＋4.9× 65 98 2－6.5×65 98 －10 Δt ＝－4.9Δt 65 49 ＋Δt ＋6.5Δt Δt ＝－4.9 65 49 ＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt→0 ht0＋Δt－ht0 Δt ＝lim Δt→0 －4.9 65 49 ＋Δt ＋6.5]＝0， 即运动员在 t0＝65 98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处． 1．如果质点 M 按规律 s＝3＋t2 运动，则在一小段时间 2，2.1]中相应的平均速度是( )． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 答案 B 解析 v ＝3＋2.12－3＋22 0.1 ＝4.1. 2．函数 f(x)在 x0 处可导，则lim h→0 fx0＋h－fx0 h ( ) A．与 x0、h 都有关 B．仅与 x0 有关，而与 h 无关 C．仅与 h 有关，而与 x0 无关 D．与 x0、h 均无关 答案 B 3．已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx 等于( ) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案 C 解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1 ＝2(Δx)2＋4Δx，∴Δy Δx ＝2Δx＋4. 4．已知函数 f(x)＝ 1 x ，则 f′(1)＝________. 答案 －1 2 解析 f′(1)＝lim Δx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝lim Δx→0 1 1＋Δx －1 Δx ＝lim Δx→0 －1 1＋Δx1＋ 1＋Δx ＝－1 2 . 呈重点、现规律] 利用导数定义求导数三步曲： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx ； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx . 简记为一差，二比，三趋近． 特别提醒 ①取极限前，要注意化简Δy Δx ，保证使Δx→0 时分母不为 0. ②函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛. 一、基础过关 1．函数 y＝x2－2x＋1 在 x＝－2 附近的平均变化率为( ) A．－6 B．Δx－6 C．－2 D．Δx－2 答案 B 解析 设 y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2， Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx， 所以Δy Δx ＝Δx－6， 所以函数 y＝x2－2x＋1 在 x＝－2 附近的平均变化率为Δx－6. 2．函数 y＝1 在 2,2＋Δx]上的平均变化率是( ) A．0 B．1 C．2 D．Δx 答案 A 解析 Δy Δx ＝1－1 Δx ＝0. 3．如果某物体的运动方程为 s＝2(1－t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末 的瞬时速度为( )． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 答案 A 解析 物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律 s(t)＝2t3 运动，则 t＝1 时的瞬时速度为( ) A．4 B．6 C．24 D．48 答案 B 解析 ∵s′(1)＝lim t→1 st－s1 t－1 ＝lim t→1 2t3－2 t－1 ＝lim t→1 2(t2＋t＋1)＝6. 5．已知函数 y＝2＋1 x ，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量Δy＝________. 答案 －1 2 解析 Δy＝ 2＋1 2 －(2＋1)＝－1 2 . 6.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 答案 B 解析 在 t0 处，虽然 W1(t0)＝W2(t0)， 但是，在 t0－Δt 处，W1(t0－Δt)