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- 2021-06-16 发布
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阶段质量检测(一)
(A 卷 学业水平达标)
(时间:90 分钟,满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.在 0°~360°的范围内,与-510°终边相同的角是( )
A.330° B.210°
C.150° D.30°
答案:B
2.若-π
2<α<0,则点 P(tan α,cos α)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
3.已知角α的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(sin 120°,cos 120°),则α可以是
( )
A.60° B.330°
C.150° D.120°
答案:B
4.若 sin2θ+2cos θ=-2,则 cos θ=( )
A.1 B.1
2
C.-1
2 D.-1
答案:D
5.函数 f(x)=tan x+π
4 的单调增区间为( )
A. kπ-π
2
,kπ+π
2 ,k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C. kπ-3π
4
,kπ+π
4 ,k∈Z
D. kπ-π
4
,kπ+3π
4 ,k∈Z
答案:C
6.已知 sin
π
4
+α = 3
2
,则 sin
3π
4
-α 的值为( )
A.1
2 B.-1
2
C. 3
2 D.- 3
2
答案:C
7.函数 y=cos2x+sin x
-π
6
≤x≤π
6 的最大值与最小值之和为( )
A.3
2 B.2 C.0 D.3
4
答案:A
8.如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 -π
6
,5π
6 上的图象,为了得到这个函数的图
象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移π
3
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍,纵坐标不变
B.向左平移π
3
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变
C.向左平移π
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍,纵坐标不变
D.向左平移π
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A
9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如
图所示,则函数的解析式为( )
A.y=2sin 2x-π
4
B.y=2sin 2x-π
4 或 y=2sin 2x+3π
4
C.y=2sin 2x+3π
4
D.y=2sin 2x-3π
4
答案:C
10.函数 f(x)=Asin ωx(ω>0),对任意 x 有 f x-1
2 =f x+1
2 ,且 f
-1
4 =-a,那么 f
9
4
等于( )
A.a B.2a
C.3a D.4a
答案:A
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.已知 sin(π-α)=-2
3
,且α∈ -π
2
,0 ,则 tan(2π-α)=________.
解析:sin(π-α)=sin α=-2
3
,
∵α∈ -π
2
,0 ,
∴cos α= 1-sin2α= 5
3
,tan(2π-α)=-tan α=-sin α
cos α
=2 5
5 .
答案:2 5
5
12.已知 sin θ+cos θ=4
3
0<θ<π
4 ,则 sin θ-cos θ的值为________.
解析:∵sin θ+cos θ=4
3
,
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=16
9
,
∴2sin θcos θ=7
9.又 0<θ<π
4
,∴sin θ<cos θ.
∴sin θ-cos θ=- sin θ-cos θ2
=- 1-2sin θcos θ=- 2
3 .
答案:- 2
3
13.定义运算 a*b 为 a*b= aa≤b,
ba>b,
例如 1] .
解析:由题意可知,这实际上是一个取小的自定义函数,结合函数的图象可得其值域为
-1, 2
2 .
答案: -1, 2
2
14.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π
2
,y=f(x)的部分图象如
图,则 f
π
24 =________.
解析:由图象可知,此正切函数的半周期等于3π
8
-π
8
=2π
8
=π
4
,即周期为π
2
,所以ω=2.由
题意可知,图象过定点
3π
8
,0 ,所以 0=Atan 2×3π
8
+φ ,
即3π
4
+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-3π
4 (k∈Z),
又|φ|<π
2
,所以φ=π
4.再由图象过定点(0,1),
所以 A=1.综上可知 f(x)=tan 2x+π
4 .
故有 f
π
24 =tan 2× π
24
+π
4 =tan π
3
= 3.
答案: 3
三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分)已知 tan α
tan α-1
=-1,求下列各式的值:
(1)sin α-3cos α
sin α+cos α
;
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解:由 tan α
tan α-1
=-1,得 tan α=1
2.
(1)sin α-3cos α
sin α+cos α
=tan α-3
tan α+1
=
1
2
-3
1
2
+1
=-5
3.
(2)sin2α+sin αcos α+2
=sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α)
=3sin2α+sin αcos α+2cos2α
sin2α+cos2α
=3tan2α+tan α+2
tan2α+1
=
3
1
2 2+1
2
+2
1
2 2+1
=13
5 .
16.(本小题满分 12 分)已知α是第二象限角,
且 f(α)=sin α-π
2 cos
3π
2
+α tanπ-α
tan-α-πsin-π-α .
(1)化简 f(α);
(2)若 cos α+3π
2 =3
5
,求 f(α)的值.
解:(1)f(α)=-cos αsin α-tan α
-tan αsin α
=-cos α.
(2)∵cos α+3π
2 =sin α=3
5
,
∴sin α=3
5.又∵α是第二象限角,
∴cos α=- 1-
3
5 2=-4
5.
∴f(α)=- -4
5 =4
5.
17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π
2
的图象在 y 轴上的截
距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2).
(1)求 f(x)的解析式;
(2)将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
3
倍,纵坐标不变,然后再将所得的
图象沿 x 轴向右平移π
3
个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,写出函数 y=g(x)的解析式,并
用“五点法”作出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
解:(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)在 y 轴上的截距为 1,最大值为 2,∴A=2,1=2sin φ,∴sin φ
=1
2.
又∵|φ|<π
2
,∴φ=π
6.
∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2),
∴T=2[(x0+3π)-x0]=6π,
∴ω=2π
T
=2π
6π
=1
3.
∴函数的解析式为 f(x)=2sin
x
3
+π
6 .
(2)将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
3
,纵坐标不变,得函数的解析式为 y
=2sin x+π
6 ,再向右平移π
3
个单位后,得 g(x)=2sin x-π
3
+π
6 =2sin x-π
6 .
列表如下:
x-π
6 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
6
2π
3
7π
6
5π
3
13π
6
g(x) 0 2 0 -2 0
描点并连线,得 g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图.
18.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 函 数 y = 2cos(ωx + θ)x ∈ R ,
ω>0,0≤θ≤π
2
的图象与 y 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知点 A
π
2
,0 ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA
的中点,当 y0= 3
2
,x0∈
π
2
,π 时,求 x0 的值.
解:(1)把(0, 3)代入 y=2cos(ωx+θ)中,
得 cos θ= 3
2 .
∵0≤θ≤π
2
,∴θ=π
6.
∵T=π,且ω>0,
∴ω=2π
T
=2π
π
=2.
(2)∵点 A
π
2
,0 ,Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0= 3
2
,
∴点 P 的坐标为 2x0-π
2
, 3 .
∵点 P 在 y=2cos 2x+π
6 的图象上,
且π
2
≤x0≤π,
∴cos 4x0-5π
6 = 3
2
,且7π
6
≤4x0-5π
6
≤19π
6 .
∴4x0-5π
6
=11π
6
或 4x0-5π
6
=13π
6 .
∴x0=2π
3
或 x0=3π
4 .
(B 卷 能力素养提升)
(时间:90 分钟,满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.已知 cos θ tan θ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限象
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
解析:选 C 若 cos θtan θ<0,
则 cos θ>0,tan θ<0,或 cos θ<0,tan θ>0.
当 cos θ>0,tan θ<0 时,角θ是第四象限角;
当 cos θ<0,tan θ>0 时,角θ是第三象限角.
2.(陕西高考)函数 f(x)=cos 2x-π
6 的最小正周期是( )
A.π
2 B.π
C.2π D.4π
解析:选 B ∵T=2π
|ω|
=2π
2
=π,∴B 正确.
3.函数 y=cos x·tan x 的值域是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.[-1,1]
C.(-1,1)
D.[-1,0]∪(0,1)
解析:选 C 化简得 y=sin x,由 cos x≠0,得 sin x≠±1.故得函数的值域(-1,1).
4.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的 2 倍
D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍
解析:选 B 根据弧度的定义可知:圆心角的大小等于弧长对半径的比,故选 B.
5.已知α=5π
8
,则点 P(sin α,tan α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选 D ∵π
2<5π
8 <π,∴sin α>0,tan α<0,∴点 P 在第四象限.
6.函数 y=2sin 2x-π
6 的图象( )
A.关于原点成中心对称
B.关于 y 轴成轴对称
C.关于点
π
12
,0 成中心对称
D.关于直线 x= π
12
成轴对称
解析:选 C 由形如 y=Asin(ωx+φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义,分别将各选
项代入检验即可,由于 f
π
12 =0,故函数的图象关于点
π
12
,0 成中心对称.
7.函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间
π
2
,3π
2 内的图象是( )
解析:选 D 当π
2sin x,y=2sin x.故选 D.
8.已知角α的终边上一点的坐标为 sinπ
6
,cosπ
6
,则角α的最小正值为( )
A.11π
6 B.5π
6
C.π
3 D.π
6
解析:选 C 由题意知,tan α=
cos π
6
sinπ
6
= 3.
所以α的最小正值为π
3.
9.函数 y=cos
π
4
-2x 的单调递增区间是( )
A. kπ+π
8
,kπ+5π
8
B. kπ-3π
8
,kπ+π
8
C. 2kπ+π
8
,2kπ+5π
8
D. 2kπ-3π
8
,2kπ+π
8 (以上 k∈Z)
解析:选 B 函数 y=cosπ
4
-2x=cos2x-π
4
,根据余弦函数的增区间是[2kπ-π,2kπ],
k∈Z,得 2kπ-π≤2x-π
4
≤2kπ,k∈Z,解得 kπ-3π
8
≤x≤kπ+π
8
,k∈Z.故选 B.
10.函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈
π
3
,2π
3 的最大值是( )
A.1
4 B.3
4
C.1
5 D.15
4
解析:选 D y=3cos2x-4cos x+1=3 cos x-2
3 2-1
3.∵x∈
π
3
,2π
3 ,∴cos x∈ -1
2
,1
2 ,
∴当 cos x=-1
2
,即 x=2π
3
时,ymax=15
4 .
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°+sin290°的值为________.
解析:∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,
sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,
sin2x°+sin2(90°-x°)=sin2x°+cos2x°=1,(1≤x≤44,x∈N),
∴原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin290°+sin245°
=45+
2
2 2=91
2 .
答案:91
2
12.函数 y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x=π
6
对称,则φ的
最小值是________.
解析:y=sin 2x 向右平移φ个单位得
f(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ).
由 f
π
6 =sin
π
3
-2φ =±1,
∴π
3
-2φ=kπ+π
2(k∈Z),
∴2φ=-kπ-π
6
,令 k=-1,得 2φ=5π
6
,
∴φ=5π
12
或作出 y=sin 2x 的图象观察易知φ=π
6
- -π
4 =5π
12.
答案:5π
12
13.若 tan(π-α)=2,则 2sin(3π+α)·cos5π
2
+α+sin
3
2π-α ·sin(π-α)的值为________.
解析:∵tan(π-α)=2,∴tan α=-2,
∴原式=-2sin α·(-sin α)+(-cos α)·sin α
=2sin2α-sin αcos α=2sin2α-sin αcos α
sin2α+cos2α
=2tan2α-tan α
1+tan2α
=2×-22--2
1+-22
=10
5
=2.
答案:2
14.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为
x1,x2,若|x1-x2|的最小值为π,则ω=________,θ=________.
解析:由已知 T=π,∴ω=2,θ=kπ+π
2(k∈Z).
答案:2 π
2
三、解答题(本题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,sin A+cos A=1
5.
(1)求 sin Acos A;
(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;
(3)求 tan A 的值.
解:(1)∵sin A+cos A=1
5
①,
∴①式两边平方得 1+2sin Acos A= 1
25
,
∴sin Acos A=-12
25.
(2)由(1)sin Acos A=-12
25
,且 A∈(0,π),可得 sin A>0,cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC
是钝角三角形.
(3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+24
25
=49
25
,又 sin A>0,cos A<0,
∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=7
5
②,∴由①,②可得 sin A=4
5
,cos A=-3
5
,∴tan
A=-4
3.
16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=1+ 2·sin2x-π
4.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值;
(2)画出函数 y=f(x)在区间 -π
2
,π
2 上的图象.
解:(1)函数 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π,
当 sin 2x-π
4 =1 时,f(x)取得最大值 1+ 2.
(2)由(1)知:
x -π
2
-3π
8
-π
8
π
8
3π
8
π
2
y 2 1 1- 2 1 1+ 2 2
故函数 y=f(x)在区间 -π
2
,π
2 上的图象如图所示.
17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=3sinωx+π
6
,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以π
2
为最小
正周期.
(1)求 f(0);
(2)求 f(x)的解析式;
(3)已知 f
α
4
+ π
12 =9
5
,求 sinα的值.
解:(1)由题设可知 f(0)=3sinπ
6
=3
2.
(2)∵f(x)的最小正周期为π
2
,
∴ω=2π
π
2
=4.
∴f(x)=3sin 4x+π
6 .
(3)由 f
α
4
+ π
12 =3sin α+π
3
+π
6 =3cos α=9
5
,
∴cos α=3
5.
∴sin α=± 1-cos2α=±4
5.
18.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,且ω>0,0<φ<π
2
的部分图象如图所
示.
(1)求 A,ω,φ的值;
(2)若方程 f(x)=a 在 0,5π
3 上有两个不同的实根,试求 a 的取值范围.
解:(1)由图象易知 A=1,函数 f(x)的周期为
T=4×
7π
6
-2π
3 =2π,∴ω=1.
∵π-2π
3
=π
3
,
∴此函数的图象是由 y=sin x 的图象沿 x 轴向左平移π
3
个单位长度得到的,故φ=π
3.
(2)由(1)知函数解析式为 f(x)=sin x+π
3 .
∴方程 f(x)=a 在 0,5π
3 上有两个不同的实根等价于 y=f(x),x∈ 0,5
3π 与 y=a 有两个
交点.
当 x=0 时,f(x)= 3
2
,
∴a∈
3
2
,1 时,y=a 与 y=f(x)有两个交点;
当 x=5
3π时,f(x)=0,
∴a∈(-1,0)时,y=a 与 y=f(x)也有两个交点,
故所求 a∈
3
2
,1 ∪(-1,0).
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