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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.通过对 K2 的统计量的研究得到了若干个临界值,当 K2≤2.706 时,我们认
为( )
A.在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 X 与 Y 有关系
B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 有关系
C.没有充分理由认为 X 与 Y 有关系
D.不能确定
【解析】 ∵K2≤2.706,∴没有充分理由认为 X 与 Y 有关系.
【答案】 C
2.下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B.从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C.从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D.以上说法都不对
【解析】 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系,故 A 错.在
等高条形图中仅能够找出频率,无法找出频数,故 B 错.
【答案】 C
3.分类变量 X 和 Y 的列联表如下:
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
则下列说法正确的是( )
A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱
B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越弱
C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强
D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强
【解析】 对于同一样本,|ad-bc|越小,说明 X 与 Y 之间关系越弱;|ad-bc|
越大,说明 X 与 Y 之间的关系越强.
【答案】 C
4.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有 99.5%的把
握认为事件 A 和 B 有关系,则具体计算出的数据应该是( )
A.k≥6.635 B.k<6.635
C.k≥7.879 D.k<7.879
【解析】 有 99.5%的把握认为事件 A 和 B 有关系,即犯错误的概率为 0.5%,
对应的 k0 的值为 7.879,由独立性检验的思想可知应为 k≥7.879.
【答案】 C
5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下表的
列联表:
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 K2= nad-bc2
a+bc+da+cb+d
算得,
k=110×40×30-20×202
60×50×60×50
≈7.8.
附表:
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】 由 k≈7.8 及 P(K2≥6.635)=0.010 可知,在犯错误的概率不超过 1%
的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”,也就是有 99%以上的把握认为“爱
好该项运动与性别有关”.
【答案】 C
二、填空题
6.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到如下表数据:
吃零食 不吃零食 总计
男学生 27 34 61
女学生 12 29 41
总计 39 63 102
根据上述数据分析,我们得出的 K2 的观测值 k 约为________. 【导学号:
97270063】
【解析】 由公式可计算得 k=102×27×29-34×122
39×63×61×41
≈2.334.
【答案】 2.334
7.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关,用两种不同剂量的
电离辐射照射小白鼠,在照射 14 天内的结果如表所示:
死亡 存活 总计
第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
总计 20 30 50
进行统计分析时的统计假设是________.
【解析】 根据独立性检验的基本思想,可知类似于反证法,即要确认“两
个分量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立.对于本题,
进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”.
【答案】 小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关
8.在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法:
①若 K2 的观测值 k>6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为吸
烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病;
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为吸烟与患肺
病有关系时,若某人吸烟,则他有 99%的可能患有肺病;
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为吸烟与患肺
病有关系时,是指有 5%的可能性使得推断错误.
其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】 K2 是检验吸烟与患肺病相关程度的量,是相关关系,而不是确定
关系,是反映有关和无关的概率,故说法①不正确;说法②中对“确定容许推断
犯错误概率的上界”理解错误;说法③正确.
【答案】 ③
三、解答题
9.用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验,结果如下表.
阳性 阴性 总计
荧光抗体法 160 5 165
常规培养法 26 48 74
总计 186 53 239
附:
P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001
k0 6.635 7.879 10.828
(1)利用图形判断采用荧光抗体法与检验结果呈阳性是否有关系;
(2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为采用荧光抗体法与检验结
果呈阳性有关系?
【解】 (1)作出等高条形图如图所示,由图知采用荧光抗体法与检验结果呈
阳性有关系.
(2)通过计算可知 K2= nad-bc2
a+bc+da+cb+d
≈113.184 6.而查表可知,因为
P(K2≥10.828)≈0.001,而 113.184 6 远大于 10.828,所以在犯错误的概率不超过
0.001 的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系.
10.有人发现一个有趣的现象,中国人的邮箱里含有数字比较多,而外国人
邮箱名称里含有数字比较少,为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系,他收
集了 124 个邮箱名称,其中中国人的 64 个,外国人的 60 个,中国人的邮箱中有
43 个含数字,外国人的邮箱中有 27 个含数字.
(1)根据以上数据建立 2×2 列联表;
(2)他发现在这组数据中,外国人邮箱里含数字的也不少,他不能断定国籍和
邮箱名称里含有数字是否有关,你能帮他判断一下吗?
【解】 (1)2×2 的列联表:
中国人 外国人 总计
有数字 43 27 70
无数字 21 33 54
总计 64 60 124
(2)假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”.
由表中数据得 k=124×43×33-27×212
70×54×64×60
≈6.201.
因为 k>5.024,所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无
关”是不合理的,即在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“国籍和邮箱名称
里与是否含有数字有关”.
[能力提升]
1.对两个分类变量 A,B,下列说法中正确的个数为( )
①A 与 B 无关,即 A 与 B 互不影响;
②A 与 B 关系越密切,则 K2 的值就越大;
③K2 的大小是判定 A 与 B 是否相关的唯一依据.
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】 ①正确,A 与 B 无关即 A 与 B 相互独立;②不正确,K2 的值的大
小只是用来检验 A 与 B 是否相互独立;③不正确,也可借助等高条形图等.故选
A.
【答案】 A
2.(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用,把
500名使用了该血清的志愿者与另外 500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记
录作比较,提出假设 H:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联
表计算得 K2≈3.918,经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是
( )
A.有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B.若有人未使用该血清,那么他一年中有 95%的可能性得感冒
C.这种血清预防感冒的有效率为 95%
D.这种血清预防感冒的有效率为 5%
【解析】 K2≈3.918>3.841,因此有 95%的把握认为“这种血清能起到预防
感冒的作用”,故选 A.
【答案】 A
3.为研究某新药的疗效,给 100 名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数
据:
无效 有效 总计
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
总计 21 79 100
设 H:服用此药的效果与患者的性别无关,则 K2 的观测值 k≈________(小数
点后保留一位有效数字),从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关,这
种判断出错的可能性为________.
【解析】 由公式计算得 K2 的观测值 k≈4.9.∵k>3.841,∴我们有 95%的把
握认为服用此药的效果与患者的性别有关,从而有 5%的可能性出错.
【答案】 4.9 5%
4.(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试
验田种植的一批玉米共 10 000 株的生长情况进行研究,现采用分层抽样方法抽取
50 株作为样本,统计结果如下:
高茎 矮茎 总计
圆粒 11 19 30
皱粒 13 7 20
总计 24 26 50
(1)现采用分层抽样的方法,从该样本所含的圆粒玉米中取出 6 株玉米,再从
这 6 株玉米中随机选出 2 株,求这 2 株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率;
(2)根据对玉米生长情况作出的统计,是否有 95%的把握认为玉米的圆粒与玉
米的高茎有关?
【解】 (1)依题意,取出的 6 株圆粒玉米中含高茎 2 株,记为 a,b;矮茎 4
株,记为 A,B,C,D,从中随机选取 2 株的情况有如下 15 种:aA,aB,aC,aD,
bA,bB,bC,bD,ab,AB,AC,AD,BC,BD,CD.
其中满足题意的共有 aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共 8 种,则所求
概率为 P= 8
15.
(2)根据已知列联表,
得 k=50×11×7-13×192
30×20×24×26
≈3.860>3.841,即有 95%的把握认为玉米的圆粒
与玉米的高茎有关.
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