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- 2021-06-16 发布
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§1.3.2 函数的极值与导数(1 课时)
【学情分析】:
在高一就学习了函数的最大(小)值,这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的,学
生容易产生混淆,易把极大值当做最大值,极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系
后,结合函数图像直观地引入函数极值的概念,强化极值是描述函数局部特征的概念,使得学生对极值与
最值的概念区分开来,也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】:
(1)理解极大值、极小值的概念.
(2)能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
(3)掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】:
极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】:
极大、极小值概念的理解,熟悉求可导函数的极值的步骤
【教学过程设计】:
教学环节 教学活动 设计意图
利用教材在
§3.3.1 中的
例 1 引入函数的
极值概念
①观察 y=f(x)的图像在 x=1 点的函数值 f(1)与 x=1 附近的其
他点的函数值的特征,并描述在 x=1 点及其附近导数的正
负:
f(1)在 x=1 点及其附近是最小—— '(1) 0f ;
y=f(x)在 x=1 附近的左侧是单减的—— '( ) 0f x ;
y=f(x)在 x=1 附近的右侧是单增的—— '( ) 0f x ;
提问:y=f(x)在 x=1 处是否整个函数的最小值?
不是,只是 y=f(x)在 x=1 处附近的局部最小值
②观察 y=f(x)的图像在 x=4 点的函数值 f(4)与 x=4 附近的其
他点的函数值的特征,并描述在 x=4 点及其附近导数的正
负:
学生模仿完成
考虑到极值与最值
容易混淆,学生对已
有知识的同化易接
受,我们以§3.3.1
中的例 1 引出极值
的概念,具体直观,
同时对极值与最值
区分是一目了然的。
概念抽象
y=f(x)在定义域上可导,
① 若 '( ) 0f a , 且 y=f(x) 在 x=a 附 近 的 左 侧 满 足
'( ) 0f x ;在 x=a 附近的右侧满足 '( ) 0f x ,则称点 a
叫做 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值
由具体函数图像抽
象上升到一般极值
概念
② 若 '( ) 0f b , 且 y=f(x) 在 x=b 附 近 的 左 侧 满 足
'( ) 0f x ;在 x=b 附近的右侧满足 '( ) 0f x ,则称点 b
叫做 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值
函数极值概念
强化练习
概念判断练习:
(1)函数的极大值是函数在定义域上的最大值
(2)函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的
(3)函数某区间上的极大值一定大于极小值
(4)函数的极值点,导数一定为零
(5)导数为零的点一定是函数的极值点
答案:(1)错(2)错(3)错(4)对(5)错
深化学生对函数极
值的概念,以及函数
取极值与 '( ) 0f a
的逻辑关系
极值概念理解
的总结提高
(ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点
的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定
义域内极大值或极小值可以不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数
的极大值未必大于极小值,如下图所示, 1x 是极大值点, 4x
是极小值点,而 )( 4xf > )( 1xf ,如下图
f(
x
2
)
f(
x
4
)
f(
x
5
)
f(
x
3
)
f(
x
1
)
f(b)
f(a)
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
b
a
x
O
y
如何判别 f(x0)是
极大、极小值
填空:
(1) 若 0x 满足 0)( 0 xf ,且在 0x 的两侧 )(xf 的导数
________,则 0x 是 )(xf 的极值点, )( 0xf 是极值,
(2)如果 )(xf 在 0x 两侧满足“左正右负”,则 0x 是 )(xf
的_______点, )( 0xf 是_______;
(3)如果 )(xf 在 0x 两侧满足“左负右正”,则 0x 是 )(xf
的_______点, )( 0xf 是_______.
让学生总结判断极
值的方法。
(1)异号;(2)
极大值;极大值;
(3)极小值;极小
值
例题精讲
1、看图识极值(点)
f(
x
2
)
f(
x
4
)
f(
x
5
)
f(
x
3
)
f(
x
1
)
f(b)
f(a)
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
b
a
x
O
y
说出极值点与相应的极值
2、求函数的极值(点)
对教材例 1 的处理方式:
要求阅读教材解析,模仿练习。以眼动、心动、手动的方
式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。
函数极值(点)计算要加强练习,提高熟练程度。
作为平行班的学生基础不牢,应以最基本的几类函数求导
练习为主,切忌本末倒置:让学生把重心放在导数计算上,
而忽视了求极值(点)的方法步骤
设置上可以先让学生回忆几类基本函数的求导公式,板书
在黑板上以学生查用之需。
补充练习:
求函数y=2x2+5x 的极值
答案:x=-5/4;y=-25/8 极小值
求函数 y=3x-x3 的极值
答案:x=-1,y=-2 极小值;
X=1,y=2 极大值
加强熟练程度与运算速度
加 强 对 极 值
(点)的函数图像理
解与认识
要注意结合图象理解极大、极小值概念
判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
通过 例题与 练
习加深对极大、极小
值概念的理解,以及
熟悉求函数极值的
方法与步骤
方法小结
求函数极值的方法与步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x)
(2)求方程 f′(x)=0 的根
(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若
干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的
符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如
果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不
改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值
课后练习
1、函数 )(xfy 在一点的导数值为 0 是函数 )(xfy 在这点取极值的( )
A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件 D 必要非充分条件
答案 D 对于 3 ' 2 '( ) , ( ) 3 , (0) 0,f x x f x x f 不能推出 ( )f x 在 0x 取极值,反之成立
2、函数 ( )3 23 9 2 2y x x x x= - - - < < 有( )
A 极大值5 ,极小值 27
B 极大值5 ,极小值 11
C 极大值5 ,无极小值
D 极小值 27 ,无极大值
答案 C ' 23 6 9 0, 1, 3y x x x x 得 ,当 1x 时, ' 0y ;当 1x 时, ' 0y
当 1x 时, 5y 极大值 ; x 取不到3 ,无极小值
3、函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ,导函数 )(xf 在 ),( ba 内的图象如图所示,
则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内有极小值点( )
A 1个 B 2 个 C 3个 D 4 个
答 案 A 极 小 值 点 应 有 先 减 后 增 的 特 点 , 即
' ' '( ) 0 ( ) 0 ( ) 0f x f x f x
4、函数 3 2( ) 3 9f x x ax x ,已知 ( )f x 在 3x 时取得极值,则 a=( )
A, 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案:
5、若函数 ( ) ( )2f x x x c= - 在 2x 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
答案 6 ' 2 2 ' 2( ) 3 4 , (2) 8 12 0, 2, 6f x x cx c f c c c 或 , 2c 时取极小值
6、函数 1( ) cos sin 22f x m x x 在
4x 处取得极值,则 m=__________
答案 0
7、已知函数 23 bxaxy ,当 1x 时,有极大值3 ;
(1) 求 ,a b 的值;(2)求函数 y 的极小值
a
b
x
y )(xfy
O
a
b
x
y )(xfy
O
解:(1) ' 23 2 ,y ax bx 当 1x 时, '
1 1| 3 2 0, | 3x xy a b y a b ,
即 3 2 0, 6, 93
a b a ba b
(2) 3 2 ' 26 9 , 18 18y x x y x x ,令 ' 0y ,得 0, 1x x 或
0| 0xy y 极小值
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