北师版高中数学必修一第1讲：集合的含义表示（学生版） 6页

1 集合的含义与表示 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。 2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。 3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。 一、集合与元素的概念： 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对 象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直 角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由 1，2，3，4 组成的集合｛1，2，3， 4｝。1，2，3，4 就是这个集合的元素 。类似“与 2 非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的 说法就不能确定集合。 特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的 全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要 是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如 A B C、 、 、……；元素通常用小写 的字母表示，如 a b c d、 、 、 ……。 二、集合中元素的特性： 1、确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能 算是一个。如方程 0122  xx 有两个重根 121 xx ，其解集只能记为 1 ，而不能记为 1,1 。 3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如 ,a b 和 ,b a 表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表 示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。 三、元素与集合的关系： 一般地，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作 a A ；如果 a 不是集合的元素，就说 a 不属于 A ，记作 Aa  。 2 特别提醒：1、“属于”号与“不属于”号，使用时不可反过来写，“A －6”与“A 8”的 写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性， a A 或 a A ，这两种情况必有一种成立；3、集 合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。如：集合  1A  相对于集合       1 , 2 , 3B  而言，A 是 B 的一个元素；元素与集合之间不存在大小与相 等的关系，如 2 与 3 ，只能是  2 3 ，不能写成  2 3 。4、符号和是表示元素和集合之间 关系的，不能用来表示集合之间的关系，如： 1  1,2 的写法是错误的，而      1 1 , 2 的写 法是正确的。 四、集合的分类： 按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，空集归入 有限集。如： }01|{ 2  xRx 。 按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为： （1）单元素集：只含一个元素的集合；如 0 ，  。 （2）数集：有一些数字组成的集合； （3）点集：由符合某一条件的点 ,x y ，组成的集合；   , 2 1x y y x  （4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：方程 2 2 0x x   的解集是： 1,2 。 五、常用数集的关系及记法   0 ( )R                        正整数 自然数 整数 有理数集 实数集 负整数 分数:指有限小数和无限循环小数. 无理数:指无限不循环小数. NN (Z)(Q) 六：集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程 012 x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考虑元素顺序；4、适用于表示元 素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必 须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从 51 到 100 的所有整数组成的集合：{51，52， 53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示 集合的方法。①格式：   x A P x ；②含义：它表示集合由具有性质  P x 的所有元素构成的。 其中 x 为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I 表明了 x 的 范 围 ；  P x 为 该 集 合 中 元 素 所 具 有 的 特 征 。 如 ： 不 等 式 23 x 的 解 集 可 以 表 示 为 ： }23|{  xRx 或 }23|{ xx 。 特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说 明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号 内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表 示方法为：  R  实数 （3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合 1 2 3 4，，， 可用韦恩 图表示为： 3 类型一 对集合概念的理解 例 1：判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)9 以内的正偶数； (2)篮球打得好的人； (3)2012 年伦敦奥运会的所有参赛运动员； (4)高一(1)班所有高个子同学． 练习 1：有下列 4 组对象：(1)某校 2015 级新生；(2)小于 0 的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近 1 的数．其中能构成集合的是________． 练习 2：(2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列各组对象中，不能组成集合的是 ( ) A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于零的数 D．我国古代四大发明 类型二 集合中元素的特性 例 2：集合 A 是含有两个不同实数 a－3,2a－1 的集合，求实数 a 的取值范围． 练习 1：能够组成集合的是（ ） A．与 2 非常接近的全体实数； B．很著名的科学家的全体； C．某教室内的全体桌子； D．与无理数 相差很小的数 练习 2：若一个集合中的三个元素 a，b，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 类型三 元素与集合的关系 例 3：已知集合 A 由 a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3 三个元素构成，且 1∈A，求实数 a 的值． 练习 1：(2014～2015 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合 A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}， 若 A 中只有一个元素，则 a 的值是( ) A．0 B．9 8 C．0 或9 8 D．－9 8 练习 2：(2014～2015 学年度山西太原市高一上学期期中测试)已知集合 A＝{x|x(x－2)＝0}，那么 ( ) 4 A．0∈A B．2∉A C．－2∈A D．0∉A 类型四：集合的表示方法 例 4：用列举法表示下列集合 （1）  2A x Z x   ； （2）   , 4, ,M x y x y x N y N      练习 1：(2014～2015 学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合 A＝ a| 6 5－a ∈N*，a∈Z ＝__________. 练习 2：用列举法表示下列集合 方程 2 2 0x   的所有实数根组成的集合为：__________________ 1.下列说法： ①地球周围的行星能确定一个集合； ②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2. 集合 A＝{y|y＝x2＋1}，集合 B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，(A、B 中 x∈R，y∈R)．关于元素与集合关 系的判断都正确的是( ) A．2∈A，且 2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且 2∈B 3. 集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是( ) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,0} D．{－1,1} 4. 满足不等式1 1 2 19x   的合数组成的集合为 。 5．用另一种方法表示下列集合： （1） 1 1 3 2 5, , , ,3 2 5 3 7      。 5 （2） 3绝对值不大于 的整数  。 6. 集合 , 5x x x x x Z  且 可用列举法表示为 。 7. 满足不等式1 1 2 19x   的合数组成的集合为 。 _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1. 若集合 A 含有两个元素 0,1，则( ) A．1∉A B．0∈A C．0∉A D．2∈A 2. 已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为( ) A．3 B．6 C．8 D．10 3. 已知集合 A 含有三个元素 1,0，x，若 x2∈A，则实数 x＝________. 4. 集合 1 4 ，2 5 ，1 2 ，4 7 ，5 8 可用特征性质描述法表示为__________． 5.（2015 上海模拟）设 a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0， ，b}，则 b-a=（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 能力提升 6. 已知集合 A 中含有三个元素 m－1,3m，m2－1，若－1∈A，求实数 m 的值． 7. 已知集合 M 含有三个元素 1,2，x2，则 x 的值为______________． 8. 若集合 A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合 B＝____________. 9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合； 10. 已知集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，若 A 中元素最多只有一个，求 a 的取值范围． 6