2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11棱锥与棱台 10页

www.ks5u.com ‎11.1.4　‎棱锥与棱台 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)‎ ‎2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)‎ ‎3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点)‎ ‎1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养．‎ ‎2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.‎ ‎　‎ 我们见到的很多建筑物呈棱锥形状．‎ 思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？‎ ‎1．棱锥 ‎(1)棱锥的定义、分类、图形及表示 棱锥 图形及表示 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，‎ 则称这个多面体为棱锥 如图棱锥可记作：棱锥SABCD或棱锥SAC 相关概念 底面(底)：是多边形的那个面；‎ 侧面：有公共顶点的各三角形；‎ 侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；‎ 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)；‎ 侧面积：所有侧面的面积之和 分类 ‎①依据：底面多边形的边数；‎ ‎②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……‎ ‎(2)正棱锥的有关概念及其特征 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．‎ ‎2．棱台 ‎(1)棱台的定义、分类、图形及表示 棱台 图形及表示 定义 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图棱台可记作：棱台ABCDA′B′C′D′‎ 相关概念 上底面：原棱锥的截面；‎ 下底面：原棱锥的底面；‎ 侧面：其余各面；‎ 侧棱：相邻两侧面的公共边；‎ 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；‎ 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；‎ 侧面积：所有侧面的面积之和 分类 ‎①依据：由几棱锥截得；‎ ‎②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……‎ ‎(2)正棱台的有关概念及其特征 由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． (　　)‎ ‎(2)棱台的侧棱长都相等． (　　)‎ ‎(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)‎ A　　　　B　　　　　　C　　　　　D C　[棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]‎ ‎3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为(　　)‎ A．三棱锥的四个面是三角形 B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点 B　[根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]‎ ‎4．已知正四棱锥的底面边长是2，高为，则这个正四棱锥的全面积是________．‎ ‎8＋4　[如图所示，由题意，得AO＝，OB＝1，则AB＝＝2，又QR＝2，所以S△AQR＝2×2×＝2，则这个正四棱锥的全面积为2×4＋2×2＝8＋4.‎ ‎]‎ 棱锥的结构特征 ‎【例1】　有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？‎ ‎[解]　不一定．如图①所示，将正方体ABCDA1B‎1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和CB‎1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．‎ 棱锥的三个本质特征 ‎(1)有一个面是多边形．‎ ‎(2)其余各面是三角形．‎ ‎(3)这些三角形有一个公共顶点．‎ ‎1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　)‎ A．①是棱柱　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 B　[②显然是棱锥．]‎ 棱台的结构特征 ‎【例2】　下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是______．‎ ‎(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；‎ ‎(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；‎ ‎(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；‎ ‎(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．‎ ‎(2)(3)　[(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；‎ ‎(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；‎ ‎(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；‎ ‎(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]‎ 棱台结构特征问题的判断方法 ‎(1)举反例法 结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．‎ ‎(2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 ‎2．判断图中的几何体是不是棱台？并说明为什么？‎ ‎[解]　对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．‎ 几何体的计算问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？‎ ‎[提示]　常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．‎ ‎2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？‎ ‎[提示]　是．‎ ‎3．正棱台中的计算呢？‎ ‎[提示]　根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．‎ ‎【例3】　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．‎ ‎[思路探究]　正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．‎ ‎[解]　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．‎ 在Rt△ADO中，AD＝，‎ ‎∠OAD＝30°，‎ 故AO＝＝.‎ 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，‎ 故SO＝＝3，其高为3.‎ ‎1．将本例中“侧棱长为‎2‎”，改为“斜高为‎2‎”，则结论如何？‎ ‎[解]　连接SD(图略)，在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.‎ ‎2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？‎ ‎[解]　如图正四棱锥SABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.‎ 故其高为.‎ 正棱锥、正棱台中的计算技巧 ‎(1)正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．‎ ‎①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC．‎ ‎②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.‎ ‎③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC．‎ ‎(2)正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B‎1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，‎ ‎①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.‎ ‎②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.‎ ‎③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.‎ 知识：‎ ‎1．棱柱、棱台、棱锥关系图 ‎2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较 ‎　　　几何体 结构　　　‎ 棱柱 棱锥 棱台 底面 全等的多边形 多边形 相似的多边形 侧面 平行四边形 三角形 梯形 侧棱 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 平行于底面的截面 与两个底面全等的多边形 与底面相似的多边形 与两个底面相似的多边形 过不相邻两侧棱的截面 平行四边形 三角形 梯形 方法：‎ 棱锥、棱台中的计算问题的处理方法 ‎(1)求解此类问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形、直角梯形．立体几何问题的求解一般都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．‎ ‎(2)正棱锥、正棱台的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，从而使问题得以解决. ‎ ‎1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　[在三棱锥ABCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]‎ ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 D　[对于A，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故A说法错误；对于B，不能保证底面为正多边形，故B说法错误；对于C，不能保证这些全等的等腰三角形的腰都作为侧棱，故C说法错误．只有D说法正确．]‎ ‎3．如图，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是(　　)‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 B　[剩余几何体为四棱锥A′BCC′B′.]‎ ‎4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．‎ ‎48　[正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]‎ ‎5．画一个三棱台，再把它分成：‎ ‎(1)一个三棱柱和另一个多面体；‎ ‎(2)三个三棱锥，并用字母表示．‎ ‎[解]　画三棱台一定要利用三棱锥．‎ ‎①　　　　　　　②‎ ‎(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.‎ ‎(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C．‎