黑龙江省哈尔滨市 2017 届高三数学第三次模拟考试试题 理 14页

黑龙江省哈尔滨市 2017 届高三数学第三次模拟考试试题 理 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．) 1. 已知集合     2| ln 2 , | 3 4 0M x y x N x x x       ，则 NM  A. )2,1[ B. ]2,1[ C. ]1,4[ D. ]4,1[ 2.  21 1 i i   的虚部为 A．i B． 1 C． i D．1 3. 已知向量 ,a b 满足 1, 2, 3,   a b a b 则 a b  A. 13 B. 6 C. 11 D. 5 4. 已知 ,x y 满足： 0 2 0 x x y x y        ，若目标函数 z ax y  取最大值时的最优解有无数多个， 则实数 a 的值是 A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 5. 椭圆 2 2 : 14 3 x yC   与双曲线 2 2 2 2: 1( , 0)x yE a ba b    有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为 A． 2 1 B． 2 2 C． 3 3 D． 3 2 6. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为 A． 32 3 B． 50 3 C． 64 3 D． 80 3 7.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为 a ，则输 出的结果为 A． 81 B． 74 C． 121 D．169 开始 输出 S 1,0,1  nSa ?40a aSS  1 nn 88  na 否 是 结束 （第 7 题图） 4 正视图 侧视图 俯视图 4 4 2 (第 6 题图) 8. 已知函数 2( ) 2 (2 ) 5 5f x f x x x     ,则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方 程为 A. y x B. 2 3y x   C. 3 4y x   D. 2y x  9. 一条光线从点 (1, 1) 射出，经 y 轴反射后与圆 2 2( 2) 1  x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为 A. 3 ,04     B. 30, 4      C. 3 ,04     D. 30, 4      10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为 A. 1 15 B. 2 15 C. 4 15 D. 1 5 11. 正四面体 ABCD 中， M 是棱 AD 的中点，O 是点 A 在底面 BCD内的射影，则异面 直线 BM 与 AO 所成角的余弦值为 A． 2 6 B. 2 3 C. 2 4 D． 2 5 12. 定义在 R 上的可导函数  f x ，其导函数记为  f x ，满足      22 1f x f x x    ， 且当 1x  时，恒有   2f x x   ．若     31 32f m f m m    ，则实数 m 的取 值范围是 A. ,1 B. 1 ,13     C. 1, D. 1, 2     2017 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知        2 3 44 0 1 2 3 4(2 1) 1 1 1 1x a a x a x a x a x          ， 则 1 2 3 4a a a a   的值是 ． 14. 函数 3sin 2 cos2y x x  的图象可由函数 2sin(2 )6y x   的图象至少向右平 移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题： （1）命题“ 2 0 0 0, 1 3x R x x    ”的否定是“ xxRx 31, 2  ”； （2）在回归分析中，相关指数 2R 为0.96 的模型比 2R 为0.84 的模型拟合效果好； （3） , ,a b R 1 1: , : 0,p a b q b a    则 p 是 q 的充分不必要条件； （4）已知幂函数 2( ) ( 3 3) mf x m m x   为偶函数，则 ( 2) 4f   . 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,ca b ,且 23 12ABCS a  . 则使得 2 2sin sin sin sinB C m B C  成立的实数 m 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足  1 12 1, 2,n n nS S a n n N       ，且 1 3a  . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）求证： 1 2 1 1 1 1...1 1 1 2na a a       . 18.（本小题满分 12 分） 为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教 师对新入学的 45 名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15 小时 的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 8 13 ，统计成绩 后，得到如下的 2 2 列联表： 分数大于等于 120 分 分数不足 120 分 合 计 周做题时间不少于 15 小时 4 19 周做题时间不足 15 小时 合 计 45 （Ⅰ）请完成上面的 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； （Ⅱ）（i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于 120 分和分数不足 120 分的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到的不足 120 分且周做题时间不足 15 小时的人数是 X ，求 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； （ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于 120 分的学生中随机抽取 20 人，求这 些人中周做题时间不少于 15 小时的人数的期望和方差. 附：      2 2 ( )n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 19.（本小题满分 12 分） 如图所示的几何体是由棱台 1 1 1ABC A B C 和棱锥 1 1D AAC C 拼接而成的组合体，其 底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 60BAD   ， 1BB ⊥平面 ABCD ， 1 1 12 2BB A B  ． （Ⅰ）求证：平面 1AB C ⊥平面 1BB D ； （Ⅱ）求二面角 1 1A BD C  的余弦值． B B1 A1 C1 D C A 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 )0(2: 2  ppxyG ，过焦点 F 的动直线l 与抛物线交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为 M . （Ⅰ）当直线l 的倾斜角为 4  时，| | 16AB  ．求抛物线 G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在 x 轴上一定点 N ，使得| | 2 | |AB MN 为定值，若存在求出点 N 的坐标及定值，若不存在说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数   3 22 3 log3 2 af x x x x   ，（ 0a  且 1a  ）为定义域上的增函数，  f x 是函数  f x 的导数，且  f x 的最小值小于等于 0 . （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）设函数 32( ) ( ) 4ln 63g x f x x x x    ，且 1 2( ) ( ) 0g x g x  ， 求证： 1 2 2 6x x   . 请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分） 已知曲线C 的参数方程为 1 5 cos 2 5 sin x y        ( 为参数)，以直角坐标系原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 1 2: , :6 3l l    ，若 1 2l l、 与曲线C 相交于异于原点的两点 A B、 ， 求 AOB 的面积. . 23.（本小题满分 10 分） 设函数 4( ) 1 ,( 0)f x x a x aa       . （Ⅰ）证明： ( ) 5f x  ； （Ⅱ）若 (1) 6f  成立，求实数 a 的取值范围. 2017 年哈三中第三次高考模拟考试答案 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14. 6  15.(2)(4) 16. 2,4 17. （本小题满分 12 分） （Ⅰ）由题意 12 1n na a    2,n n N    11 2 1n na a     …………………………………..3 分 又 1 1 4a   11 4 2n na     ………………………………………………5 分 12 1n na    ……………………………………………………6 分 （Ⅱ） 11 2n na   ， 1 1 1na       是首项为 1 4 ，公比为 1 2 的等比数列， 因此 1 2 1 111 1 1 4 2... 11 1 1 1 2 n na a a           …………………………………9 分 1 112 2n      ……………………………………………………………………………..11 分 1 2  …………………………………………………………………………………………….12 分 18. （本小题满分 12 分） （Ⅰ） 分数大于等于 120 分 分数不足 120 分 合计 周做题时间不少于 15 小时 15 周做题时间不足 15 小时 10 16 26 合计 25 20 ……………………………………………………………………………………………………… …………………………….2 分  2 2 45(15 16 10 4) 7.287 6.63525 20 19 26K        能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4 分 （Ⅱ）（i）由分层抽样知大于等于 120 分的有 5 人，不足 120 分的有 4 人……….5 分 X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,4………………………………………………………………………6 分   4 16 4 20 0 CP X C   ，   1 3 4 16 4 20 1 C CP X C   ，   2 2 4 16 4 20 2 C CP X C   ，   3 1 4 16 4 20 3 C CP X C   ，   4 4 4 20 4 CP X C   …………………………8 分 （ii）设从全校大于等于 120 分的学生中随机抽取 20 人，这些人中周做题时间不少于 15 小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9 分 由题意可知  20,0.6Y B ，……………………………………………..10 分 故   12,E Y  ………………………………………………………………………11 分   4.8D Y  ………………………………………………………………………..12 分 19．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）∵ 1BB ⊥平面 ABCD ∴ 1BB ⊥ AC 在菱形 ABCD 中， BD ⊥ AC 又 1BD BB B  ∴ AC  平面 1BB D ………………………………2 分 ∵ AC  平面 1AB C ∴平面 1AB C ⊥平面 1BB D ………………4 分 （Ⅱ）连接 BD 、 AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA为 x 轴，以OD 为 y 轴， 如图建立空间直角坐标系. …… ……5 分 1(0, 1,0), (0,1,0), (0, 1,2), ( 3,0,0)B D B A  1 1 1 1 3 1( , ,2)2 2 2B A BA A    ，同理 1 3 1( , ,2)2 2C   1 3 1( , ,2)2 2BA  , (0,2,0)BD  , 1 3 1( , ,2)2 2BC   设平面 1A BD 的法向量 ),,( zyxn   1 0 0 BA n BD n          ，则 ( 4,0, 3)n   …… …… ……8 分 设平面 DCF 的法向量 ),,( zyxm  D C1 A B B1 A1 C O z yx 1 0 0 BD m BC m          ，则 (4,0, 3)m  ………………11 分 设二面角 1 1A BD C  为 ， 13cos 19 m n m n       ……… ……12 分 20．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）由题意知 ( ,0)2 pF 设直线l 的方程为 ( )2 px ty t R   ， 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )2 2 y yA y B yp p ……………………..1 分 由 2 2 2 y px px ty     得： 2 22 0y pty p   2 2 24 4 0p t p    2 1 2 1 22 ,y y pt y y p    …………………… 2 分 2 2 2 2 21 2 1 2| | ( ) ( ) 2 ( 1)2 2 y yAB y y p tp p       …………….4 分 当直线l 倾斜角为 4  时， 1t  ， | | 4 16AB p  ，得 4p  ， 所以抛物线 G 的方程为 2 8y x . …………………………….6 分 （2）假设在 x 轴上存在点 ( ,0)N a 使得| | 2 | |AB MN 为定值. 由（1）知 2| | 8( 1)AB t  …………………………………………7 分 2 1 2( ) 2 4 22M tx y y t     ， 4My t ，即 2(4 2,4 )M t t ………….8 分 若满足题意 4 2 2 22 | | 2 16 (32 8 ) (2 ) 2(4 )MN t a t a t k       ………10 分, 即 2 2 2 4 0 32 8 2 (2 ) t k a k a k          解得 3, 1a k  ，此时| | 2 | | 6AB MN  综上在 x 轴上存在点 (3,0)N 使得 | | 2 | |AB MN 为定值 6………………….12 分 注:其它做法酌情给分 21．（本小题满分 12 分） （Ⅰ） 2 1( ) 2 3 lnf x x x x a     ，……………………………………………………1 分 由 ( )f x 为增函数可得， ( ) 0f x  恒成立， 则由 2 3 21 12 3 0 2 3ln lnx x x xx a a        ， 设 3 2( ) 2 3m x x x  ，则 2( ) 6 6m x x x   ， 若由  ( ) 6 1 0m x x x    和  ( ) 6 1 0m x x x    可知, ( )m x 在 0,1 上减，在  1,+ 上增，在1处取得极小值即最小值， 所以 min( ) = (1) 1m x m   ，所以 11 ln a    ， 11 ln a  ， 当 1a  时，易知 a e ， 当 0 1a  时，则 1 0ln a  ，这与 11 ln a  矛盾， 从而不能使得 ( ) 0f x  恒成立，所以 a e ………………………………………3 分 由 min( ) 0f x  可得， 2 12 3 0lnx x x a    ，即 3 2 12 3 lnx x a    ， 由之前讨论可知， 11 ln a    ， 当1 0a  时， 11 ln a    恒成立， 当 1a  时， 11 ln 1 ln lnln a a e a ea        ， 综 上 a e .......................................................................... .........................................6 分 （II） 3 2 3 22 3 2 3( ) ln 4ln 6 = 3ln 63 2 3 2g x x x x x x x x x x         ， 因为 1 2( ) ( ) 0g x g x  ， 所以 2 2 1 1 1 2 2 2 3 33ln 6 + 3ln 6 =02 2x x x x x x         ， 所以    2 2 1 2 1 2 1 2 3 3ln( ) 6 02 x x x x x x         2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln( ) 2 02 x x x x x x x x             2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ln( ) 2 02 x x x x x x x x       所 以    2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln( )2 x x x x x x x x      ，………………………………………………….. 9 分 令 1 2 =x x t ， ( ) lng t t t  ， 1 1( ) 1 tg t t t     ， ( )g t 在 0,1 上增，在 1,+ 上减， ( ) (1) 1g t g   ，所以    2 1 2 1 2 1 2 12 x x x x      ， 整理得   2 1 2 1 24 2 0x x x x     ， 解得 1 2 2 6x x   或 1 2 2 6x x   （舍）， 所 以 1 2 2 6x x   得 证……………………………………………………………………………………….. 12 分 22.选做题（本小题满分 10 分） ( Ⅰ)曲线C 的普通方程为 5)2(1 22  yx ）（ ， ……………………………… 2 分 将        sin cos y x 代入得：  sin4cos2  ………………………4 分 （Ⅱ）由        sin4cos2 6 ，解得 23 OA ……………………… 6 分        sin4cos2 3 ,解得 321OB ……………………… 8 分 4 358sin2 1  AOBOBOAS AOB …………………………………… 10 分 23. 选做题（本小题满分 10 分） ( Ⅰ) aaaxaxaxaxxf 41)4()1(41)(  514241)(,0  aaaaxfa …………………………………. 5 分 （Ⅱ）由 6)1( f 得： 6412  aa ，  ,0a aa  441 ， aa a  44 ……………………………… 7 分 1 当 4a 时，不等式 aa a  44 无解； 2 当 4a 时，不等式 aa a  44 ，即 11  a ， 1a ，所以 41  a ……………………………………………………………………………………………9 分 综上，实数 a 的取值范围是 )4,1( ………………………… 10 分