山东省武城县第二中学 2017 届高三数学 12 月月考试题 理 10页

山东省武城县第二中学 2017 届高三数学 12 月月考试题 理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合 2{ 1,0,1,2}, { | 2 0}M N x x x      ，则 M N  （ ） A.{0,1} B.{ 1,0} C.{1,2} D.{ 1,2} 2.设命题 2: 0, 1,p x x   则 p 为（ ） A. 20, 1x x   B. 20, 1x x   C. 20, 1x x   D. 20, 1x x   3.为了得到函数 sin 2y x 的图象，只需将函数 sin(2 )4y x   的图象。（ ） A.向左平移 8  个单位 B.向右平移 8  个单位 C.向左平移 4  个单位 D.向右平移 4  个单位 4.函数 1(x) 1 ln(5 2 ) xf e x     的定义域为（ ） A.[0, ) B. ( ,2] C.[0,2] D.[0,2) 5.直线 cos + 3 2 0x y   的倾斜角的范围是（ ） A. 5[ , ] ( , ]6 2 2 6     B. 5[0, ] [ , )6 6    C. 5[0, ]6  D. 5[ , ]6 6   6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚 痛减一半，六朝才得到其关，要 见次日行里数，请公仔细算相还。”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每一走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地。” 问此第 4 天和第 5 天共走了（ ） A.60 里 B.48 里 C.36 里 D.24 里 7.若圆心在 x 轴上，半径为 5 的圆位于 y 轴左侧，且被直线 2 0x y  ，截得的弦长为 4，则圆 C 的方程是（ ） A 2 2( 5) 5x y   . B. 2 2(x 5) 5y   C. 2 2( 5) 5x y   D. 2 2( 5) 5x y   8.函数 ( )f x 的图象关于 y 轴对称，且对任意 x R 都有 ( 3) ( )f x f x   ，若当 3 5( , )2 2x 时， 1( ) ( )2 xf x  ，则 (2017)f  （ ） A. 1 4  B. 1 4 C.-4 D.4 9.如图，在 ABCD 中，M，N 分别为 AB,AD 上的点，且 3 2, ,4 3AM AB AN AD     连接 AC,MN 交 于 P 点，若 AP AC  ,则  的值为（ ） A. 3 5 B. 3 7 C. 6 13 D. 6 17 10.函数 ( ) ( 4)ln ( 1),f x kx x x x    若 ( ) 0f x  的解集为 ( , )s t ，且 ( , )s t 中只有一个整数，则实 数 k 的取值范围为（ ） A. 1 1 4( 2, )ln 2 ln3 3   B. 1 1 4( 2, ]ln 2 ln3 3   C. 1 4 1( , 1]ln3 3 2ln 2   D. 1 4 1( , 1ln3 3 2ln 2   ） 二、填空题：本大题 共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11.定积分 1 2 0 (3 1)xx e dx  的值为 12.不等式| 2 | | 2 1| 0x x    的解集为 13.已知 4cos( ) , (0, )4 5 4      ，则 cos2 sin( )4    = 14.一艘海警船从港口 A 出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，这时候接到从 C 处发出的一求救信号，已知 C 在 B 的北偏东 65°，港口 A 的东偏南 20°处， 那么 B，C 两点的距离是 海里。 15.已知自然数 ( )( )y f x x R  图象过点 (e,0) , (x)f  为函数 (x)f 的导函数， e 为自然对数的底 D A B C M N P 数，若 0x  时， (x) 2xf   恒成立，则不等式 (x) 2 2lnf x  解集为 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 设函数 2 3( ) sin cos 3 cos ( 0)2f x x x x        的图象上相邻最高点与最低点的距 离为 2 4  。 （I）求 的值； （II）若函数 ( )(0 )2y f x      是奇函数，求函数 (x) cos(2x )g   在[0,2 ] 上的单调递 减区间。 17.（本小题满分 12 分） 已知在 ABC△ 中，内角 A,B,C 的对边分别为 , ,a b c ，向量 ( ,sin sin )m a b A C   与向量 (a c,sin(A C))n    共线。 （1） 求角 C 的值； （2） 求 27,AC CB    求| |AB  的最小值 18.（本小题满分 12 分） 已知 ,m R 设 2 2: [ 1,1], 2 4 8 2 0P x x x m m        成立； 2 1 2 : [1,2],log ( 1) 1q x x mx      成立，如果“ p q ”为真，“ p q ”为假，求 m 的取值范围. 19.数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，对于任意的正整数 n 都有 0na  ， 24 ( 1)n nS a  ①求数列{a }n 的通项公式 ②设 1 23 n n nn ab T b b    … nb 求 nT 20.（本小题满分 13 分） 在某次下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员 下潜的平均速度为 v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为 3( ) 110 v  （升），在水底作业 10 个单 位时间，每单位时 间用氧量为 0.9（升），返回水面的平均速度为 2 v （米/单位时间），每单位时间用 氧量为 1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y （升） （I） 求 y 关于 v 的函数关系式； （II） 若 15(c 0)c v   ，求当下潜速度 v 取什么值，总用氧量最少。 21.（本小题满分 14 分） 已知函数 ln( ) 1 xf x x   （I） 求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （II） 对函数定义域内每一个实数 x ， 2( ) 1 tf x x x    恒成立。 （1） 求t 的最小值 （2） 证明不等式 1 1ln 2 3n    … 1 (n Nn   且 2)n  高三年级第三次月考试题 数学（理）答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1-5 ABADB 6-10 CBADB 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11. 1e  12. ( 1,1) 13. 6 5 14.10 2 15. (0, ]e 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分） 16.解：（I） 2 3( ) sin cos 3 cos 2f x x x x      = 1 3(1 cos2 ) 3sin 22 2 2 xx    =sin(2 )3x   ………………………………………………………………………3 分 设T 为 ( )f x 的最小正周期，由 ( )f x 图象上相邻最高点与最低点的距离为 2 4  ，得 2 2 2 max( ) [2 ( ) ] 42 T f x     ，因为 max( ) 1f x  ，所以 2 2( ) 4 42 T    ， 整理得 2T  ，…………………………………………………………………………（5 分） 又因为 20, 22T     ，所以 1 2   …………………………………………（6 分） （II）由（I）可知 ( ) sin( ), ( ) sin( )3 3f x x f x x         ， ( )y f x   是奇函数，则 sin( ) 0,3x   又 0 2   ， 3   ，………………………………………………………………………（8 分） ( ) cos(2 ) cos(2 )3g x x x      ， 令 2 2 2 ,( )3k x k k Z       则 2 ,6 3k x k k Z       …………………………………………（10 分） 单调递减区间是 2[ ],6 3k k k Z    ， ， 又 [0,2 ]x  当 0k  时，递减区间为 2[ , ]6 3   ； 当 1k  时，递减区间为 7 5[ , ]6 3   . 函数 ( )g x 在[0,2 ] 上的单调递减区间是 2 7 5[ , ],[ , ]6 3 6 3     .………………（12 分） 17.解（I)向量 m  与向量 n  共线， ( ) sin( ) ( )(sin sin )a b A C a c A C       ，…………………………………(2 分) 由正弦定理可得： ( ) ( )( )a b b a c a c    ， 2 2 2 ,c a b ab    2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab     ，………………………………………………………（4 分） 0 , 3C C     ………………………………………………………………（6 分） （II） 27, 27AC CB CA CB          ，………………………………………（7 分） 1| | | |cos | | | | 272CA CB CA CB C CA CB            | | | | 54,CA CB    …………………………………………………………………（8 分） 2 2 2 2| | | | | | | | 2AB CB CA CB CA CB CA             2 | | 2 | | | | 2 27AB CB CA       2 54 54 54    ，……………………………………………………………（10 分） | | 3 6,AB  （当且仅当| | | | 3 6CA CB   时，取“＝”） | |AB  的最小值为 3 6 …………………………………………………………（12 分） 18.解：若 p 为真：对 2 2[ 1,1],4 8 2 2x m m x x       恒成立，……………（1 分） 设 2( ) 2 2,f x x x   配方得 2( ) ( 1) 3f x x   ………………………………（2 分） ( )f x 在［－1,1］上最小值为－3， 24 8 3m m    ，解得 1 3 2 2m  ， p 为真时： 1 3 2 2m  ；……………………………………………………………（4 分） 若 q 为真： 2[1,2], 1 2x x mx     成立， ∴ 2 1xm x  成立.……………………………………………………………………（6 分） 设 2 1 1( ) xg x xx x    ， 易知 ( )g x 在[1,2] 上是增函数，∴ ( )g x 的最大值为 3(2) 2g  ， ∴ 3 2m  ， ∴ q 为真时， 3 2m  .…………………………………………………………（8 分） ∵“ p q ”为真，“ p q ”为假，∴ p 与 q 一真一假，………………（9 分） 当 p 真 q 假时 1 3 2 2 3 2 m m      ，∴ 3 2m  ，……………………………………（10 分） 当 p 假 q 真时 1 3 2 2 3 2 m m m      或 ，∴ 1 2m  ，………………………………（11 分） 综上所述， m 的取值范围为 1 2m  或 3 2m  . 19.解：（1） 24 ( 1)n nS a  ① 2 1 14 ( 1)n nS a   2n  ② ①－② 2 2 1 14 2 2n n n n na a a a a     1 1( )( 2) 0n n n na a a a     2n  ……………………………………2 分 ∵ 0na  1 0n na a   ， ∴ 1 2n na a   ……………………………………………………………………4 分 又 2 1 1 14 4 ( 1)S a a   即 1 1a  ………………………………………………………………………………5 分 ∴ 2 1na n  ………………………………………………………………………6 分 （2） 1(2 1) ( )3 n nb n   2 31 1 1 11 3 ( ) 5 ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 n nT n          ① 2 3 11 1 1 1 11 ( ) 3 ( ) (2 3) ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 3 n n nT n n            ② ①－② 2 3 12 1 1 1 1 12 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 3 3 n n nT n            1 1 1 1( ) 1 13 32 (2 1) ( )1 3 31 3 n nn           …………………………………………8 分 2 2( 1) 1( )3 3 3 nn    …………………………………………………………………10 分 ∴ 11 ( 1) 3n nT n    ………………………………………………………………12 分 20.解：（I）由题意，下潜用时 60 v （单位时间），用氧量为 2 3 60 3 60[( ) 1]10 50 v v v v     （升），………………………………………………………………………………1 分 水底作业时的用氧量为10 0.9 9  （升），……………………………………2 分 返回水面用时 60 120 2 v v  （单位时间），用氧量为120 1801.5v v   （升），……3 分 ∴总用氧量 23 240 9( 0)50 vy vv     .…………………………………………4 分 （II） 3 2 2 6 240 3( 2000) 50 25 v vy v v     ， 令 0y  得 310 2v  ，…………………………………………………………6 分 在 30 10 2v  时， 0y  ，函数单调递减， 在 310 2v  时， 0y  ，函数单调递增，……………………………………8 分 ∴当 310 2c  时，函数在 3( ,10 2)c 上递减，在 3(10 2,15) 上递增， ∴此时 310 2v  时总用氧量最少.………………………………………………11 分 当 310 2c  时， y 在[ ,15]c 上递增， ∴此时 v c 时，总用氧量最少.……………………………………………………13 分 21.解：（I）由题意 (0, )x  且 2 2 1 ( 1) ln 1 ln( ) ( 1) ( 1) x x x x xxf x x x x        ， ………………………………………………………………………………………………1 分 ∴ 2 0 1(1) 4 2f    ， 又 0(1) 02f   ，………………………………………………………………3 分 ∴ ( )f x 在点 (1, (1))f 处 的切线方程为 10 ( 1)2y x   即 2 1 0x y   .……4 分 （II）①解： 0x  ， 2( ) 1 tf x x x    恒成立 即 ln 2 1 1 x t x x x    ， 即 2 ln 1 x x xt x   ……………………………………………………………………5 分 令 2 ln( ) 1 x x xg x x   2 1 ln( ) ( 1) x xg x x     ………………………………………………………………6 分 令 ( ) 0g x  ，则 1x  ∴ (0,1) ( ) 0g x  ， ( )g x 为增函数 (1, ) ( ) 0g x  ， ( )g x 为减函数………………………………………………8 分 ∴ max( ) (1) 1g x g  ∴ 1t  ，即t 的最小值为 1…………………………………………………………9 分 ②证明：由①知 1t  时， ln 1 2 1 1 x x x x    恒成立…………………………………………………………10 分 即 1ln 1x x   ， 1x  取“＝” 当 2n  时，令 1 nx n   ，则 1 11 x n   ∴ 1ln 1 n n n  ……………………………………………………………………12 分 2 1ln 1 2  3 1ln 2 3  …… 1ln 1 n n n  以上 1n  个式子相加 3 1 1 1ln2 ln ln2 1 2 3 n n n        即 1 1 1ln 2 3n n     ………………………………………………………………14 分 （3）