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- 2021-06-16 发布
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第三章 章末复习课
【课时目标】
1.熟练掌握一元二次不等式的解法,并能解有关的实际应用问题.
2.掌握简单的线性规划问题的解法.
3.能用基本不等式进行证明或求函数最值.
不等式 —
|
— 不等关系 —|— 不等式的性质
— 实数比较大小
— 一元二次不等式 —|—
一元二次不
等式的解法
—
一元二次不
等式的应用
— 简单线性规划 —|—
二元一次不等式组
与平面区域
— 简单线性规划
— 简单线性规划的应用
— 基本不等式 —|— 算术平均数与几何平均数
— 基本不等式的应用
一、选择题
1.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a-b<0 B.0a+b
答案 C
2.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解是[-1
2
,-1
3],则不等式 x2-bx-a<0 的解是( )
A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
C.(1
3
,1
2) D.(-∞,1
3)∪(1
2
,+∞)
答案 A
解析 由题意知,a<0,b
a
=-5
6
,-1
a
=1
6
,
∴a=-6,b=5.
∴x2-5x+6<0 的解是(2,3).
3.若变量 x,y 满足
2x+y≤40,
x+2y≤50,
x≥0,
y≥0,
则 z=3x+2y 的最大值是( )
A.90 B.80 C.70 D.40
答案 C
解析 作出可行域如图所示 .
由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、-1
2
,而 3x+2y=0 的斜率为-3
2
,故线
性目标函数的倾斜角大于 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图知,3x+2y
=z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z 的最大值为 70.
4.不等式x-1
x
≥2 的解为( )
A.[-1,0)
B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1]
D.(-∞,-1]∪(0,+∞)
答案 A
解析 x-1
x
≥2⇔x-1
x
-2≥0⇔-x-1
x
≥0
⇔x+1
x
≤0⇔ xx+1≤0
x≠0
⇔-1≤x<0.
5.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( )
A.a+b 有最小值 2( 2+1)
B.a+b 有最大值( 2+1)2
C.ab 有最大值 2+1
D.ab 有最小值 2( 2+1)
答案 A
解析 ∵ab-(a+b)=1,ab≤(a+b
2
)2,
∴(a+b
2
)2-(a+b)≥1,
它是关于 a+b 的一元二次不等式,
解得 a+b≥2( 2+1)或 a+b≤2(1- 2)(舍去).
∴a+b 有最小值 2( 2+1).
又∵ab-(a+b)=1,a+b≥2 ab,
∴ab-2 ab≥1,它是关于 ab的一元二次不等式,
解得 ab≥ 2+1,或 ab≤1- 2(舍去),
∴ab≥3+2 2,即 ab 有最小值 3+2 2.
6.设 x,y 满足约束条件
3x-y-6≤0,
x-y+2≥0,
x≥0,y≥0,
若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值
为 12,则2
a
+3
b
的最小值为( )
A.25
6 B.8
3 C.11
3 D.4
答案 A
解析
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2
=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,
即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而2
a
+3
b
=(2
a
+3
b)·2a+3b
6
=13
6
+(b
a
+a
b)≥13
6
+2=25
6 (a=b
=6
5
时取等号).
二、填空题
7.已知 x∈R,且|x|≠1,则 x6+1 与 x4+x2 的大小关系是________.
答案 x6+1>x4+x2
解析 x6+1-(x4+x2)
=x6-x4-x2+1
=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)
=(x2-1)2(x2+1)
∵|x|≠1,∴x2-1>0,∴x6+1>x4+x2.
8.若函数 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.
答案 [-1,0]
解析 由 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R.
可知 2x2-2ax-a≥1 恒成立,即 x2-2ax-a≥0 恒成立,则Δ=4a2+4a≤0,解得-
1≤a≤0.
9.若 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则y2
xz
的最小值为____.
答案 3
解析 由 x-2y+3z=0,得 y=x+3z
2
,将其代入y2
xz
,
得x2+9z2+6xz
4xz
≥6xz+6xz
4xz
=3,当且仅当 x=3z 时取“=”,∴y2
xz
的最小值为 3.
10.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石
的价格 c 如下表:
a b/
万
吨
c/
百
万
元
A 50
%
1 3
B 70
%
0.5 6
某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石
的最少费用为________(百万元).
答案 15
解析 设购买 A、B 两种铁矿石分别为 x 万吨、y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 百万元,
则 z=3x+6y.
由题意可得约束条件为
1
2x+ 7
10y≥1.9,
x+1
2y≤2,
x≥0,
y≥0.
作出可行域如图所示,由图可知,目标函数 z=3x+6y 在点 A(1,2)处取得最小值,zmin
=3×1+6×2=15.
三、解答题
11.已知关于 x 的不等式ax-5
x2-a
<0 的解集为 M.
(1)若 3∈M,且 5∉M,求实数 a 的取值范围.
(2)当 a=4 时,求集合 M.
解 (1)∵3∈M,∴3a-5
9-a
<0,解得 a<5
3
或 a>9;
若 5∈M,则5a-5
25-a
<0,
解得 a<1 或 a>25.
则由 5∉M,知 1≤a≤25,
因此所求 a 的范围是 1≤a<5
3
或 90
x2-4<0
或 4x-5<0
x2-4>0
.
⇔
x>5
4
-22
⇔5
43 时,求函数 y= 2x2
x-3
的值域.
解 ∵x>3,∴x-3>0.
∴y= 2x2
x-3
=2x-32+12x-3+18
x-3
=2(x-3)+ 18
x-3
+12≥2 2x-3· 18
x-3
+12
=24.
当且仅当 2(x-3)= 18
x-3
,
即 x=6 时,上式等号成立,
∴函数 y= 2x2
x-3
的值域为[24,+∞).
【能力提升】
13.设 a>b>0,则 a2+ 1
ab
+ 1
aa-b
的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 a2+ 1
ab
+ 1
aa-b
=a2-ab+ab+ 1
ab
+ 1
aa-b
=a(a-b)+ 1
aa-b
+ab+ 1
ab
≥2+2
=4.
当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b= 2
2
时取等号.
14.若关于 x 的不等式(2x-1)20,整理不等式可得(4-a)x2-4x+1<0,由于该不等
式的解集中的整数恰有 3 个,则有 4-a>0,即 a<4,故 0
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