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  • 2021-06-16 发布

高二数学人教a必修5练习:第三章不等式复习课word版含解析

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第三章 章末复习课 【课时目标】 1.熟练掌握一元二次不等式的解法,并能解有关的实际应用问题. 2.掌握简单的线性规划问题的解法. 3.能用基本不等式进行证明或求函数最值. 不等式 — | — 不等关系 —|— 不等式的性质 — 实数比较大小 — 一元二次不等式 —|— 一元二次不 等式的解法 — 一元二次不 等式的应用 — 简单线性规划 —|— 二元一次不等式组 与平面区域 — 简单线性规划 — 简单线性规划的应用 — 基本不等式 —|— 算术平均数与几何平均数 — 基本不等式的应用 一、选择题 1.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) A.a-b<0 B.0a+b 答案 C 2.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解是[-1 2 ,-1 3],则不等式 x2-bx-a<0 的解是( ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(1 3 ,1 2) D.(-∞,1 3)∪(1 2 ,+∞) 答案 A 解析 由题意知,a<0,b a =-5 6 ,-1 a =1 6 , ∴a=-6,b=5. ∴x2-5x+6<0 的解是(2,3). 3.若变量 x,y 满足 2x+y≤40, x+2y≤50, x≥0, y≥0, 则 z=3x+2y 的最大值是( ) A.90 B.80 C.70 D.40 答案 C 解析 作出可行域如图所示 . 由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、-1 2 ,而 3x+2y=0 的斜率为-3 2 ,故线 性目标函数的倾斜角大于 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图知,3x+2y =z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z 的最大值为 70. 4.不等式x-1 x ≥2 的解为( ) A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 答案 A 解析 x-1 x ≥2⇔x-1 x -2≥0⇔-x-1 x ≥0 ⇔x+1 x ≤0⇔ xx+1≤0 x≠0 ⇔-1≤x<0. 5.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( ) A.a+b 有最小值 2( 2+1) B.a+b 有最大值( 2+1)2 C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2( 2+1) 答案 A 解析 ∵ab-(a+b)=1,ab≤(a+b 2 )2, ∴(a+b 2 )2-(a+b)≥1, 它是关于 a+b 的一元二次不等式, 解得 a+b≥2( 2+1)或 a+b≤2(1- 2)(舍去). ∴a+b 有最小值 2( 2+1). 又∵ab-(a+b)=1,a+b≥2 ab, ∴ab-2 ab≥1,它是关于 ab的一元二次不等式, 解得 ab≥ 2+1,或 ab≤1- 2(舍去), ∴ab≥3+2 2,即 ab 有最小值 3+2 2. 6.设 x,y 满足约束条件 3x-y-6≤0, x-y+2≥0, x≥0,y≥0, 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值 为 12,则2 a +3 b 的最小值为( ) A.25 6 B.8 3 C.11 3 D.4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2 =0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而2 a +3 b =(2 a +3 b)·2a+3b 6 =13 6 +(b a +a b)≥13 6 +2=25 6 (a=b =6 5 时取等号). 二、填空题 7.已知 x∈R,且|x|≠1,则 x6+1 与 x4+x2 的大小关系是________. 答案 x6+1>x4+x2 解析 x6+1-(x4+x2) =x6-x4-x2+1 =x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1) =(x2-1)2(x2+1) ∵|x|≠1,∴x2-1>0,∴x6+1>x4+x2. 8.若函数 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [-1,0] 解析 由 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R. 可知 2x2-2ax-a≥1 恒成立,即 x2-2ax-a≥0 恒成立,则Δ=4a2+4a≤0,解得- 1≤a≤0. 9.若 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则y2 xz 的最小值为____. 答案 3 解析 由 x-2y+3z=0,得 y=x+3z 2 ,将其代入y2 xz , 得x2+9z2+6xz 4xz ≥6xz+6xz 4xz =3,当且仅当 x=3z 时取“=”,∴y2 xz 的最小值为 3. 10.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石 的价格 c 如下表: a b/ 万 吨 c/ 百 万 元 A 50 % 1 3 B 70 % 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石 的最少费用为________(百万元). 答案 15 解析 设购买 A、B 两种铁矿石分别为 x 万吨、y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 百万元, 则 z=3x+6y. 由题意可得约束条件为 1 2x+ 7 10y≥1.9, x+1 2y≤2, x≥0, y≥0. 作出可行域如图所示,由图可知,目标函数 z=3x+6y 在点 A(1,2)处取得最小值,zmin =3×1+6×2=15. 三、解答题 11.已知关于 x 的不等式ax-5 x2-a <0 的解集为 M. (1)若 3∈M,且 5∉M,求实数 a 的取值范围. (2)当 a=4 时,求集合 M. 解 (1)∵3∈M,∴3a-5 9-a <0,解得 a<5 3 或 a>9; 若 5∈M,则5a-5 25-a <0, 解得 a<1 或 a>25. 则由 5∉M,知 1≤a≤25, 因此所求 a 的范围是 1≤a<5 3 或 90 x2-4<0 或 4x-5<0 x2-4>0 . ⇔ x>5 4 -22 ⇔5 43 时,求函数 y= 2x2 x-3 的值域. 解 ∵x>3,∴x-3>0. ∴y= 2x2 x-3 =2x-32+12x-3+18 x-3 =2(x-3)+ 18 x-3 +12≥2 2x-3· 18 x-3 +12 =24. 当且仅当 2(x-3)= 18 x-3 , 即 x=6 时,上式等号成立, ∴函数 y= 2x2 x-3 的值域为[24,+∞). 【能力提升】 13.设 a>b>0,则 a2+ 1 ab + 1 aa-b 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 a2+ 1 ab + 1 aa-b =a2-ab+ab+ 1 ab + 1 aa-b =a(a-b)+ 1 aa-b +ab+ 1 ab ≥2+2 =4. 当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b= 2 2 时取等号. 14.若关于 x 的不等式(2x-1)20,整理不等式可得(4-a)x2-4x+1<0,由于该不等 式的解集中的整数恰有 3 个,则有 4-a>0,即 a<4,故 0