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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
广东省文科数学模拟试题(二)
本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的县(市、区)、学校、姓名、考生号、考生号和座位
号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂
黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 5 2 1 7A x x , 2 4B x x ,则 A B ( )
A. 3 4x x B. 2 4x x
C. 3 3x x D. 2 3x x
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合 A , B ,由此能求出 A B .
【详解】解:集合 { | 5 2 1 7} { | 3 3}A x x x x ,
{ | 2 4}B x x ,
{ | 2 3}A B x x .
故选: D .
【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
2.已知复数 z i a i (i 为虚数单位, aR ),若 5z ,则 a ( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】C
- 2 -
【解析】
【分析】
先利用复数的乘法化简复数为 1z i a i ai ,再由 21 5z a 求解.
【详解】因为复数 1z i a i ai ,
所以 21 5z a ,
解得 2a
故选:C
【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础
题.
3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照,则小青不站在两边的概率为( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 1
6
D. 1
2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求小青不站在两边的站法有多少种,再求三个人全排列的站法,两者之比即可求解.
【详解】解:小青只能站中间 1 种站法,其父母站两边有 2
2 2A ,
所以小青不站在两边的站法有 2 1 2 种站法,
三个人全排列有 3
3 6A 种站法,
所以小青不站在两边的概率为 2 1
6 3P .
故选:A.
【点睛】考查用分步计数原理解古典概型问题;基础题.
4.若 x,y 满足约束条件
3 0,
3 0,
1 0,
x y
x y
x
则 2z y x 的最大值是( )
A. 9 B. 7 C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
- 3 -
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程
组求得最优解的坐标,代入目标函数的答案.
【详解】解:由 x , y 满足约束条件
3 0
3 0
1 0
x y
x y
x
,作出可行域如图,
联立 3 0
1 0
x y
x
,解得 ( 1,4)A ,
化目标函数 2z y x 为直线方程的斜截式: 2y x z .
由图可知,当直线 2y x z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 4 2 ( 1) 6 ;
故选: D .
【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题.
5.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个
节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、
大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,
经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为
10.5 尺,则立秋的晷长为( )
- 4 -
A. 1.5 尺 B. 2.5 尺 C. 3.5 尺 D. 4.5 尺
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列 na 的首项为 1a ,公差为 d,根据题意列出方程组求解即可.
【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,
其晷长依次成等差数列 na ,设其首项为 1a ,公差为 d,
根据题意 9 1
3
1
11 5
= 1.5
10.
49.5 9 36 49.5
3 65 .5 110
S a
a a a
a d
da d
,
∴立秋的晷长为 4 1.5 3 4.5a .
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式,属于基础题.
6.一个底面半径为 2 的圆锥,其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱,若其内接圆柱的体积
为 3 ,则该圆锥的体积为( )
A. 2 3 B. 2 3
3
C. 4 3
3
D. 8 3
3
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形,由圆柱的体积求得圆柱的高,再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高,
则圆锥体积可求.
【详解】作出该几何体的轴截面图如图,
2BC , 1BD ,
设内接圆柱的高为 h,
- 5 -
由 21 3h ,得 3h .
∵ CAB CED△ ∽△ ,
∴ ED CD
AB CB
,即 3 1
2AB
,
得 2 3AB ,
∴该圆锥的体积为 21 8 32 2 33 3
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查圆锥的内接圆柱的体积,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.
7.已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数,且在 0, 上单调递减, 3 0f ,则不等式
1 0f x 的解集为( )
A. 3,3 B. 2,4
C. , 2 2, D. 4,2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,由函数的奇偶性与单调性的性质以及 ( 3) 0f 分析可得: ( 1) 0f x 等价于
| 1| 3x ,解可得 x 的取值范围,即可得答案.
【详解】解:根据题意,函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数,且在[0 , ) 上单调递减,
又由 ( 3) 0f ,则 ( 1) 0 ( 1) ( 3) (| 1|) 3 | 1| 3f x f x f f x f x ,
解可得: 2 4x ,即不等式的解集为 ( 2,4) ;
故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及绝对值不等式的解法,属于基础
题.
8.已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右焦点为 F,过点 F 分别作双曲线的两条渐近线的
- 6 -
垂线,垂足分别为 A,B.若 0FA FB ,则该双曲线的离心率为( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形,可得渐近线的倾斜角,得到 1b
a
,则离心率可求.
【详解】如图,
由 0FA FB ,得 90AOB ,
即 45AOF ,∴ tan 45 1b
a
,即 a b .
则
2
1 2c be a a
.
故选:D.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查双曲线离心率的
求法,是基础题.
9.已知数列 na 满足 1 1
n
n
n
aa a ( n N ),且 1 1a ,设 1n n nb a a ,记数列 nb 的前 n
项和为 nS ,则 2019S ( )
A. 2018
2019
B. 2019
2020
C. 2019 D. 1
2019
【答案】B
【解析】
【分析】
- 7 -
根据 1 1
n
n
n
aa a ,变形为
1
11 1 1n
n n n
a
a a a
,利用等差数列的定义得到 1
na
是等差数
列,从而得到 1
na n
,然后由
1 1 1
1 1nb n n n n
,用裂项相消法求解.
【详解】因为 1 1
n
n
n
aa a ,
所以
1
11 1 1n
n n n
a
a a a
所以 1
na
是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,
所以 1 1 1 1
n
n na
,
所以 1
na n
,
所以
1 1 1
1 1nb n n n n
,
所以 2019
1 1 1 1 1 1 1 2019... 11 2 2 3 2020 2020 2020S n
,
故选:B
【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属
于中档题.
10.把函数 2sinf x x 的图象向右平移
3
个单位长度,再把所得的函数图象上所有点的横
坐标缩短到原来的 1
2
(纵坐标不变)得到函数 g x 的图象,关于 g x 的说法有:①函数 g x
的图象关于点 ,03
对称;②函数 g x 的图象的一条对称轴是
12x ;③函数 g x 在
,3 2
上的最上的最小值为 3 ;④函数 0,g x 上单调递增,则以上说法正确的个数
是( )
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】C
- 8 -
【解析】
【分析】
通 过 平 移 变 换 与 伸 缩 变 换 求 得 函 数 g x 的 解 析 式 . 由 03g
判 断 ① 错 误 ; 由
212g
求得最小值判断②正确;由 x 的范围求得函数值域判断③正确;由 x 的范围可
知函数 g x 在 0, 上不单调判断④错误.
【详解】把函数 2sinf x x 的图象向右平移
3
个单位长度,得 2sin 3y x
,
再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
(纵坐标不变)得到函数 g x 的图象,
则 2sin 2 3g x x
.
①∵ 22sin 3 03 3 3g
,∴函数 g x 的图象不关于点 ,03
对称,故①错
误;
②∵ 2sin 212 6 3g
,∴函数 g x 的图象的一条对称轴是
12x ,故②
正确;
③当 ,3 2x
时, 22 ,3 3 3x
,则 2sin 2 3,23x
,即函数 g x 在
,3 2
上的最上的最小值为 3 ,故③正确;
④当 0,x 时, 52 ,3 3 3x
,可知函数 g x 在 0, 上不单调,故④错误.
∴正确命题的个数为 2.
故选:C.
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查 siny A ωx φ 型函数的图象与性质,是
中档题.
- 9 -
11.已知椭圆 C 的焦点为 1 ,0F c , 2 ,0F c ,P 是椭圆 C 上一点,若椭圆 C 的离心率为 2
2
,
且 1 1 2PF F F , 1 2PF F△ 的面积为 2
2
,则椭圆 C 的方程为( )
A.
2
2 12
x y B.
2 2
13 2
x y C.
2 2
14 2
x y D.
2
2 14
x y
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率以及三角形的面积,求出 a 、b ;即可得到椭圆方程.
【详解】解:椭圆C 的焦点为 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c , P 是椭圆C 上一点.若椭圆C 的离心率
为 2
2
,且 1 1 2PF F F ,△ 1 2PF F 的面积为 2
2
,
可得:
2
2 2 2
2
2
1 222 2
c
a
bc a
a b c
,解得 2a , 1b ,
所以椭圆方程为:
2
2 12
x y .
故选: A .
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法,是基本知识的考查,属于基础
题.
12.已知函数 21 cos 12f x ax x ( a R ),若函数 f x 有唯一零点,则 a 的取值范围
为( )
A. ,0 B. ,0 1,
- 10 -
C. ,0 1, D. , 1 1,
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性变换得到
2
2sin 2
x
a x
,设 2sin 2
x
k x
,利用其几何意义根据图象得到范
围.
【详解】 21 cos 12f x ax x ,易知函数为偶函数,且 0 0f ,故考虑 0x 的情况
即可,
当 0x 时, 21 cos 1 02f x ax x ,即
2
2
2sin2 1 cos 2
x
xa x x
,
设 2sin 2
x
k x
,表示函数 2sin 2
xy 上的点到原点的斜率,根据图象知:
cos 2
xy ,当 0x 时, max 1y ,故 1k ,故
2
2sin 20 1
x
x
,
2
2
2sin2 1 cos 2
x
xa x x
无解,故 ,0 1,a .
故选:B.
- 11 -
【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题,将题目转化为函数 2sin 2
xy 上的点到
原点的斜率是解题的关键.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.记等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 2
1
4a , 3
7
8S ,则公比 q ______.
【答案】 1
2
或 2
【解析】
【分析】
由 2
1
4a , 3
7
8S ,可得:
1
1 1 74
4 4 8qq
,化简解出即可得出.
【详解】解:由 2
1
4a , 3
7
8S ,
1
1 1 74
4 4 8qq
,化为: 22 5 2 0q q .
解得 1
2q 或 2.
故答案为: 1
2
或 2.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,
属于基础题.
14.已知向量 1, 3a
, 1b
,且向量 a
与b
的夹角为
3
,则 2a b
______.
【答案】2
【解析】
【分析】
- 12 -
根据向量 a
的坐标即可求出| | 2a ,进而求出 a b
的值,进而得出 2
2a b 的值,从而得出
2a b
.
【详解】解:因为 1, 3a
, 1b
,且向量 a
与b
的夹角为
3
22| | 1 3 2a ,
· 1a b ,
2 2 2
2 4 4 4 4 4 4a b a a b b
,
2 2a b
.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法,向量数量积的计算公式,考查了
计算能力,属于基础题.
15.对于任意实数 a,b,定义 , ,min , , ,
a a ba b b a b
函数 2f x ex e , xg x e ,
min ,h x f x g x ,若函数 Q x h x k 有两个零点,则 k 的取值范围为______.
【答案】 0,e
【解析】
【分析】
根据题意得到 ( )h x 解析式为 , 1( )
2 , 1
xe xh x
ex e x
,作出其图象,数形结合即可;
【详解】解:因为 ( ) 2f x ex e 单调递减, ( ) xg x e 单调递增,
且 f (1) e g (1),
故 ( ) { ( )h x min f x , , 1( )}
2 , 1
xe xg x
ex e x
,
作出函数 ( )h x 的图象如下:
- 13 -
函数 ( ) ( )Q x h x k 有两个零点等价于函数 ( )h x 与直线 y k 图象有 2 个交点,
由图可知, (0, )k e ;
故答案为: (0, )e .
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的
关键.要注意使用数形结合的数学思想,属于中档题.
16.如图,在矩形 ABCD 中,已知 2 2AB AD a ,E 是 AB 的中点,将 ADE 沿直线 DE
翻折成 1A DE△ ,连接 1AC .若当三棱锥 1A CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 1A CDE 外接
球的体积为 8 2
3
,则 a ______.
【答案】 2
【解析】
【分析】
当高最大值,体积最大,高最大为 2
2 a ,球心在平面 DEBC 的投影为 DC 中点G ,根据勾
股定理解得 R a ,代入体积公式计算得到答案.
【详解】三棱锥 1A CDE 的底面积为定值 2S a ,故当高最大值,体积最大,
- 14 -
易知 1A DE△ 为等腰直角三角形,取 DE 中点为 F ,连接 1A F ,故 1A F DE ,
当平面 1A DE 平面 DEBC 时,高最大为 2
2 a ,
易知 DEC 为等腰直角三角形,球心在平面 DEBC 的投影为 DC 中点G ,
且 DEC 的外接圆半径为 r a ,设OG h , 1 2
2 2FG EC a
故
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
R h a
R a a h
,解得 R a , 0h ,
34 8 2
3 3V R ,故 2R ,即 2a .
故答案为: 2 .
【点睛】本题考查了三棱锥体积的最值问题,三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能
力和空间想象能力.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知
- 15 -
22 2 cos 2 cos cos2
Aa b C c B
.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 6 2c ,且 AB 边上的高等于 1
3 AB ,求sinC 的值.
【答案】(1)
4A ;(2) 3 10sin 10C .
【解析】
【分析】
(1)先根据二倍角余弦公式化简,再根据正弦定理化边为角,即得结果;
(2)根据 AB 边上的高可得 ,AD BD 以及 BC ,再根据正弦定理求sinC 的值.
【详解】(1)依题意得 1 cos2 2 2 cos cos2
Aa b C c B
,
2 cos cos cosa A b C c B
根据正弦定理得 2 sin cos sin cos sin cosA A B C C B ,
2 sin cos sinA A B C
2 sin cos sinA A A .
0,A , sin 0A .
2 cos 1A ,即 2cos 2A .
0,A ,
4A .
(2)设 AB 边上的高为 CD ,
在 Rt CDA△ 易得 2 2AD CD ,
则 4 2BD .
在 Rt CDB△ 中,根据勾股定理,
得 2 2 2 10BC CD BD .
在 ABC 中,根据正弦定理
sin sin
AB BC
C A
,
- 16 -
得
26 2sin 3 102sin 102 10
AB AC BC
.
【点睛】本题考查二倍角余弦公式、正弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.
18.如图,四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形,PA PC ,BD PA ,
E 是 BC 上一点,且 1BE ,设 AC BD O .
(1)证明: PO 平面 ABCD ;
(2)若 60BAD , PA PE ,求三棱锥 P AOE 的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2) 3
2
.
【解析】
【分析】
(1)由已知可先证 BD 平面 PAC ,得到 BD PO ,再由 PO AC ,进一步得到 PO
平面 ABCD ;
(2)根据条件,解三角形求出三棱锥 P AOE 的高 PO ,底面积 AOES ,再利用棱锥的体积
公式求出三棱锥 P AOE 的体积
【详解】(1)证明: 四边形 ABCD 是菱形, BD AC ,O 是 AC 的中点.
BD PA , PA AC A , BD 平面 PAC .
PO 平面 PAC , BD PO .
PA PC ,O 是 AC 的中点, PO AC .
AC 平面 ABCD , BD 平面 ABCD , AC BD O ,
PO 平面 ABCD .
- 17 -
(2)解:由四边形 ABCD 是菱形, 60BAD ,
得 ABD△ 和 BCD 都是等边三角形
4BD AB . O 是 BD 的中点, 2BO .
在 Rt ABO△ 中, 2 2 2 3AO AB BO .
在 Rt PAO△ 中, 2 2 2 212PA AO PO PO .
取 BC 的中点 F,连接 DF ,则 DF BC .
在 Rt BDF△ 中, 2 2 2 3DF BD BF .
1BE , E 是 BF 的中点.又 O 是 BD 的中点, 1 32OE DF .
在 Rt POE 中, 2 2 2 23PE OE PO PO .
在 ABE△ 中,由余弦定得 2 2 2 2 cos120 21AE AB BE AB BE .
PA PE , 2 2 2PA PE AE .
2 212 3 21PO PO . 3PO .
AOE ABC ABE COES S S S △ △ △
1 1 1 3 34 4 sin120 4 1 sin120 3 32 2 2 2
,
1 1 3 3 333 3 2 2P AOE AOEV S PO △ .
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,棱锥的体积的计算,解三角形,余弦定理,三角
形的面积公式,考查空间想象能力与思维能力,运算能力,属于中档题.
19.为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的质量情况,
分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取 100 件产品进行质量检测,所有产品质量指
- 18 -
标值均在 15,45 以内,规定质量指标值大于 30 的产品为优质品,质量指标值在 15,30 的产
品为合格品,旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示,新设备所生产的产品
质量指标值如频数分布表所示.
质量指标值 频数
15,20 2
20,25 8
25,30 20
30,35 30
35,40 25
40,45 15
合计 100
(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能越高,根
据已知图表数据填写下面列联表(单位:件),并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于
新设备有关”.
- 19 -
非优质品 优质品 合计
新设备产品
旧设备产品
合计
附:
P( 2
0K k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
(3)已知每件产品的纯利润 y(单位:元)与产品质量指标值 t 的关系式为 2,30 45,
1,15 30,
ty t
若每台新设备每天可以生产 1000 件产品,买一台新设备需要 80 万元,请估计至少需要生产
多少天方可以收回设备成本.
【答案】(1)70%,55%;(2)列联表见解析,有 95%的把握认为产品质量高与新设备有关;
(3)471 天方.
【解析】
【分析】
(1)根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后 3 组的频率之和即为旧设备
所生产的产品的优质品率,根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设
备所生产的产品的优质品率;
(2)根据题目所给的数据填写 2 2 列联表,计算 K 的观测值 2K ,对照题目中的表格,得出
统计结论;
(3)根据新设备所生产的产品的优质品率,分别计算 1000 件产品中优质品的件数和合格品
的件数,得到每天的纯利润,从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本.
- 20 -
【详解】解:
(1)估计新设备所生产的产品的优质品率为: 30 25 15 0.7 70%100
,
估计旧设备所生产的产品的优质品率为: 5 0.06 0.03 0.02 0.55 55% .
(2)
非优质品 优质品 合计
新设备产品 30 70 100
旧设备产品 45 55 100
合计 75 125 200
由列联表可得, 2
2 200 30 55 45 70 4.8 3.84175 125 100 100K
,
有95%的把握认为产品质量高与新设备有关.
(3)新设备所生产的产品的优质品率为 0.7
每台新设备每天所生产的 1000 件产品中,估计有1000 0.7 700 件优质品,
有1000 700 300 件合格品.
估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为 700 2 300 1 1700 (元).
800000 1700 471 (天),
估计至少需要生产 471 天方可以收回设备成本.
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,考查了频率分布直方图,也考查了计算能力的
应用问题,属于中档题.
20.已知曲线 C 上每一点到直线 l: 2y 的距离比它到点 0,1F 的距离大 1.
(1)求曲线 C 的方程;
(2)曲线 C 任意一点处的切线 m(不含 x 轴)与直线 2y 相交于点 M,与直线 l 相交于点 N,
证明: 2 2FM FN 为定值,并求此定值.
【答案】(1) 2 4x y ;(2)证明见解析, 2 2FM FN 为定值 0.
- 21 -
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点, y 轴为对称轴, (0,1)F 为焦点的抛物线,
从而求出曲线C 的方程;
(2)依题意,切线 m 的斜率存在且不等于 0,设切线 m 的方程为: ( 0)y ax b a ,与抛
物线方程联立,利用△ 0 得到 2b a ,故切线 m 的方程可写为 2y ax a ,进而求出点
M , N 的坐标,用坐标表达出 FM
和 FN
,即可证得 2 2| | | |FM FN 为定值.
【详解】解:(1)由题意可知,曲线 C 上每一点到直线 1y 的距离等于该点到点 0,1F 的
距离,
曲线 C 是顶点在原点,y 轴为对称轴, 0,1F 为焦点的抛物线.
曲线 C 的轨迹方程为: 2 4x y .
(2)依题设,切线 m 的斜率存在且不等于零,设切线 m 的方程为
y ax b ( 0a ),
代入 2 4x y 得 2 4x ax b ,即 2 4 4 0x ax b .
由 0 得 24 16 0a b ,化简整理得 2b a .
故切线 m 的方程可写为 2y ax a .
分别令 2y , 2y 得 M,N 的坐标为 2 ,2M aa
, 2 , 2N aa
,
2 ,1FM aa
, 2 , 3FN aa
.
2 2
2 2 2 21 9 0FM FN a aa a
.
即 2 2FM FN 为定值 0.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义,以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
21.已知函数 xf x ae ex a ( a e ),其中 e 为自然对数的底数.
- 22 -
(1)若 2a ,求函数 f x 在点 1, 1f 处的切线方程;
(2)若函数 f x 的极小值为 1 ,求 a 的值.
【答案】(1) 2y ex ;(2) 1a .
【解析】
【分析】
(1)求导计算 1f e , 1 2f e ,得到切线方程.
(2)考虑 0a 和 0 a e 两种情况,求导得到函数单调区间,得到 ln 1 0e a a ,构造
函数,根据单调性计算得到答案.
【详解】(1) 2a , 2 2xf x e ex , 2 xf x e e ,
1 2f e e e , 1 2 2 2f e e e ,
函数 f x 在点 1, 1f 处的切线方程为: 2 1y e e x ,即 2y ex .
(2)函数 f x 的定义域为 , , xf x ae e ,
当 0a 时, 0f x 对于 ,x 恒成立, f x 在 , 单调递减,
f x 在 , 上无极值.
当 0 a e 时,令 0f x ,得 ln ex a
.
当 ln ,ex a
时, 0f x ,当 ,ln ex a
时, 0f x .
f x 在 ,ln e
a
单调递减,在 ln ,e
a
单调递增,
当 ln ex a
时, f x 取得极小值 1 .
ln
ln ln 1
e
ae ef ae e aa a
,即 ln 1 0e a a .
令 ln 1m x e x x ( 0 x e ),则 1e e xm x x x
.
0 x e , 0m x , m x 在 0,e 上单调递增.
- 23 -
又 1 0m , 1a = .
【点睛】本题考查了求切线方程,根据函数极值求参数,意在考查学生的计算能力和转化能
力.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一
题计分.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为
2 2
112 4
x y ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2 cos 4 0a a
.
(1)求直线 l 的直角坐标方程;
(2)已知 P 是曲线 C 上的一动点,过点 P 作直线 1l 交直线于点 A,且直线 1l 与直线 l 的夹角为
45°,若 PA 的最大值为 6,求 a 的值.
【答案】(1) 0x y a (2) 2a
【解析】
【分析】
(1)利用两角差的余弦公式把 2 cos 4 a
展开,结合 cosx , siny 可
得直线l 的直角坐标方程;
(2)依题意可知曲线 C 的参数方程为 2 3 cos
2sin
x
y
( 为参数),设 2 3 cos ,2sinP ,
写出点 P 到直线l 的距离,利用三角函数求其最大值,可得 PA 的最大值,结合已知列式求解
a 即可.
【详解】(1)由 2 cos 4 a
,得 2 cos cos sin sin4 4 a
,
即 cos sin a .
∵ cosx , siny ,
- 24 -
∴直线l 的直角坐标方程为 x y a ,即 0x y a .
(2)依题意可知曲线C 的参数方程为 2 3 cos
2sin
x
y
( 为参数).
设 2 3 cos ,2sinP ,则点 P 到直线l 的距离为:
4sin2 3 cos 2sin 3
2 2
aa
d
.
∵ 0a ,
∴当 sin 13
时, max
4
2
ad
.
又过点 P 作直线 1l 交直线于点 A,且直线 1l 与直线l 的夹角为 45 ,
∴ cos45d
PA
,即 2PA d .
∴ PA 的最大值为 max2 6d ,即 42 6
2
a .
∵ 2a ,∴解得 2a .
【点睛】本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,第二问考查了利用椭圆
的参数方程求最值,属于中档题.
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 | 1| | 3|f x x x .
(1)解不等式: 6f x ;
(2)若 a,b,c 均为正数,且 mina b c f x ,证明: 2 2 2 491 1 1 3a b c .
【答案】(1) 2{ | }4x x (2)见解析
【解析】
【分析】
- 25 -
(1)由
2 2, 3
1 3 4, 3 1
2 2, 1
x x
f x x x x
x x
,再分 3x , 3 1x ,x>1 求解.
(2)由(1)得到 4a b c ,构造 1 1 1 7a b c ,两边平方展开,再利用
基本不等式求解.
【详解】(1)函数
2 2, 3
1 3 4, 3 1
2 2, 1
x x
f x x x x
x x
.
当 3x 时, 2 2 6x ,解得 4x ,
故 4 3x < .
当 3 1x 时,4≤6,恒成立.
当 1x 时, 2 2 6x ,解得 2x ,
故1 2x < ,
所以不等式的解集为 2{ | }4x x .
(2)由(1)知: min 4f x ,所以: 4a b c ,
所以 1 1 1 7a b c ,
所以 2
1 1 1 49a b c ,
所以
2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 49a b c a b a c b c
2 2 23 1 1 1a b c .
当且仅当 4
3a b c 时,等号成立.
所以 2 2 2 491 1 1 3a b c .
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,还考查了转化求解问题的
能力,属于中档题.
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