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  • 2021-06-16 发布

广东省普通高等学校招生全国统一考试2020届高三模拟(二)数学(文)试题 Word版含解析

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- 1 - 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 广东省文科数学模拟试题(二) 本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的县(市、区)、学校、姓名、考生号、考生号和座位 号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合  5 2 1 7A x x     ,  2 4B x x    ,则 A B  ( ) A.  3 4x x   B.  2 4x x   C.  3 3x x   D.  2 3x x   【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合 A , B ,由此能求出 A B . 【详解】解:集合 { | 5 2 1 7} { | 3 3}A x x x x         , { | 2 4}B x x    , { | 2 3}A B x x      . 故选: D . 【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 2.已知复数  z i a i  (i 为虚数单位, aR ),若 5z  ,则 a ( ) A. 4 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C - 2 - 【解析】 【分析】 先利用复数的乘法化简复数为   1z i a i ai    ,再由 21 5z a   求解. 【详解】因为复数   1z i a i ai    , 所以 21 5z a   , 解得 2a   故选:C 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础 题. 3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照,则小青不站在两边的概率为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 6 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先求小青不站在两边的站法有多少种,再求三个人全排列的站法,两者之比即可求解. 【详解】解:小青只能站中间 1 种站法,其父母站两边有 2 2 2A  , 所以小青不站在两边的站法有 2 1 2  种站法, 三个人全排列有 3 3 6A  种站法, 所以小青不站在两边的概率为 2 1 6 3P   . 故选:A. 【点睛】考查用分步计数原理解古典概型问题;基础题. 4.若 x,y 满足约束条件 3 0, 3 0, 1 0, x y x y x           则 2z y x  的最大值是( ) A. 9 B. 7 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 - 3 - 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程 组求得最优解的坐标,代入目标函数的答案. 【详解】解:由 x , y 满足约束条件 3 0 3 0 1 0 x y x y x        „ „ … ,作出可行域如图, 联立 3 0 1 0 x y x       ,解得 ( 1,4)A  , 化目标函数 2z y x  为直线方程的斜截式: 2y x z  . 由图可知,当直线 2y x z  过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 4 2 ( 1) 6    ; 故选: D . 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题. 5.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个 节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、 大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列, 经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为( ) - 4 - A. 1.5 尺 B. 2.5 尺 C. 3.5 尺 D. 4.5 尺 【答案】D 【解析】 【分析】 设等差数列 na 的首项为 1a ,公差为 d,根据题意列出方程组求解即可. 【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气, 其晷长依次成等差数列 na ,设其首项为 1a ,公差为 d, 根据题意 9 1 3 1 11 5 = 1.5 10. 49.5 9 36 49.5 3 65 .5 110 S a a a a a d da d               , ∴立秋的晷长为 4 1.5 3 4.5a    . 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式,属于基础题. 6.一个底面半径为 2 的圆锥,其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱,若其内接圆柱的体积 为 3 ,则该圆锥的体积为( ) A. 2 3 B. 2 3 3  C. 4 3 3  D. 8 3 3  【答案】D 【解析】 【分析】 由题意画出图形,由圆柱的体积求得圆柱的高,再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高, 则圆锥体积可求. 【详解】作出该几何体的轴截面图如图, 2BC  , 1BD  , 设内接圆柱的高为 h, - 5 - 由 21 3h    ,得 3h  . ∵ CAB CED△ ∽△ , ∴ ED CD AB CB  ,即 3 1 2AB  , 得 2 3AB  , ∴该圆锥的体积为 21 8 32 2 33 3      . 故选:D. 【点睛】本题主要考查圆锥的内接圆柱的体积,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题. 7.已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数,且在 0, 上单调递减,  3 0f   ,则不等式  1 0f x   的解集为( ) A.  3,3 B.  2,4 C.    , 2 2,   D.  4,2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的奇偶性与单调性的性质以及 ( 3) 0f   分析可得: ( 1) 0f x   等价于 | 1| 3x   ,解可得 x 的取值范围,即可得答案. 【详解】解:根据题意,函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数,且在[0 , ) 上单调递减, 又由 ( 3) 0f   ,则  ( 1) 0 ( 1) ( 3) (| 1|) 3 | 1| 3f x f x f f x f x            , 解可得: 2 4x   ,即不等式的解集为 ( 2,4) ; 故选:B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及绝对值不等式的解法,属于基础 题. 8.已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点为 F,过点 F 分别作双曲线的两条渐近线的 - 6 - 垂线,垂足分别为 A,B.若 0FA FB   ,则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意画出图形,可得渐近线的倾斜角,得到 1b a  ,则离心率可求. 【详解】如图, 由 0FA FB   ,得 90AOB   , 即 45AOF   ,∴ tan 45 1b a    ,即 a b . 则 2 1 2c be a a        . 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查双曲线离心率的 求法,是基础题. 9.已知数列 na 满足 1 1 n n n aa a   ( n N ),且 1 1a  ,设 1n n nb a a  ,记数列 nb 的前 n 项和为 nS ,则 2019S  ( ) A. 2018 2019 B. 2019 2020 C. 2019 D. 1 2019 【答案】B 【解析】 【分析】 - 7 - 根据 1 1 n n n aa a   ,变形为 1 11 1 1n n n n a a a a    ,利用等差数列的定义得到 1 na       是等差数 列,从而得到 1 na n  ,然后由   1 1 1 1 1nb n n n n     ,用裂项相消法求解. 【详解】因为 1 1 n n n aa a   , 所以 1 11 1 1n n n n a a a a    所以 1 na       是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, 所以  1 1 1 1 n n na      , 所以 1 na n  , 所以   1 1 1 1 1nb n n n n     , 所以 2019 1 1 1 1 1 1 1 2019... 11 2 2 3 2020 2020 2020S n           , 故选:B 【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属 于中档题. 10.把函数   2sinf x x 的图象向右平移 3  个单位长度,再把所得的函数图象上所有点的横 坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)得到函数  g x 的图象,关于  g x 的说法有:①函数  g x 的图象关于点 ,03      对称;②函数  g x 的图象的一条对称轴是 12x   ;③函数  g x 在 ,3 2       上的最上的最小值为 3 ;④函数    0,g x  上单调递增,则以上说法正确的个数 是( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】C - 8 - 【解析】 【分析】 通 过 平 移 变 换 与 伸 缩 变 换 求 得 函 数  g x 的 解 析 式 . 由 03g      判 断 ① 错 误 ; 由 212g       求得最小值判断②正确;由 x 的范围求得函数值域判断③正确;由 x 的范围可 知函数  g x 在 0, 上不单调判断④错误. 【详解】把函数   2sinf x x 的图象向右平移 3  个单位长度,得 2sin 3y x      , 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)得到函数  g x 的图象, 则   2sin 2 3g x x      . ①∵ 22sin 3 03 3 3g                ,∴函数  g x 的图象不关于点 ,03      对称,故①错 误; ②∵ 2sin 212 6 3g                  ,∴函数  g x 的图象的一条对称轴是 12x   ,故② 正确; ③当 ,3 2x       时, 22 ,3 3 3x        ,则 2sin 2 3,23x          ,即函数  g x 在 ,3 2       上的最上的最小值为 3 ,故③正确; ④当  0,x  时, 52 ,3 3 3x         ,可知函数  g x 在 0, 上不单调,故④错误. ∴正确命题的个数为 2. 故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查  siny A ωx φ  型函数的图象与性质,是 中档题. - 9 - 11.已知椭圆 C 的焦点为  1 ,0F c ,  2 ,0F c ,P 是椭圆 C 上一点,若椭圆 C 的离心率为 2 2 , 且 1 1 2PF F F , 1 2PF F△ 的面积为 2 2 ,则椭圆 C 的方程为( ) A. 2 2 12 x y  B. 2 2 13 2 x y  C. 2 2 14 2 x y  D. 2 2 14 x y  【答案】A 【解析】 【分析】 利用椭圆的离心率以及三角形的面积,求出 a 、b ;即可得到椭圆方程. 【详解】解:椭圆C 的焦点为 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c , P 是椭圆C 上一点.若椭圆C 的离心率 为 2 2 ,且 1 1 2PF F F ,△ 1 2PF F 的面积为 2 2 , 可得: 2 2 2 2 2 2 1 222 2 c a bc a a b c             ,解得 2a  , 1b  , 所以椭圆方程为: 2 2 12 x y  . 故选: A . 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法,是基本知识的考查,属于基础 题. 12.已知函数   21 cos 12f x ax x   ( a R ),若函数  f x 有唯一零点,则 a 的取值范围 为( ) A.  ,0 B.    ,0 1,  - 10 - C.    ,0 1,   D.    , 1 1,   【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性变换得到 2 2sin 2 x a x           ,设 2sin 2 x k x  ,利用其几何意义根据图象得到范 围. 【详解】   21 cos 12f x ax x   ,易知函数为偶函数,且  0 0f  ,故考虑 0x  的情况 即可, 当 0x  时,   21 cos 1 02f x ax x    ,即   2 2 2sin2 1 cos 2 x xa x x            , 设 2sin 2 x k x  ,表示函数 2sin 2 xy  上的点到原点的斜率,根据图象知: cos 2 xy  ,当 0x  时, max 1y  ,故 1k  ,故 2 2sin 20 1 x x           ,   2 2 2sin2 1 cos 2 x xa x x            无解,故    ,0 1,a     . 故选:B. - 11 - 【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题,将题目转化为函数 2sin 2 xy  上的点到 原点的斜率是解题的关键. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.记等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 2 1 4a  , 3 7 8S  ,则公比 q  ______. 【答案】 1 2 或 2 【解析】 【分析】 由 2 1 4a  , 3 7 8S  ,可得: 1 1 1 74 4 4 8qq    ,化简解出即可得出. 【详解】解:由 2 1 4a  , 3 7 8S  ,  1 1 1 74 4 4 8qq    ,化为: 22 5 2 0q q   . 解得 1 2q  或 2. 故答案为: 1 2 或 2. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题. 14.已知向量  1, 3a  , 1b  ,且向量 a  与b  的夹角为 3  ,则 2a b   ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 - 12 - 根据向量 a  的坐标即可求出| | 2a  ,进而求出 a b    的值,进而得出 2 2a b  的值,从而得出 2a b  . 【详解】解:因为  1, 3a  , 1b  ,且向量 a  与b  的夹角为 3   22| | 1 3 2a    ,  · 1a b  ,   2 2 2 2 4 4 4 4 4 4a b a a b b              ,  2 2a b   . 故答案为:2. 【点睛】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法,向量数量积的计算公式,考查了 计算能力,属于基础题. 15.对于任意实数 a,b,定义   , ,min , , , a a ba b b a b    函数   2f x ex e   ,   xg x e ,       min ,h x f x g x ,若函数    Q x h x k  有两个零点,则 k 的取值范围为______. 【答案】 0,e 【解析】 【分析】 根据题意得到 ( )h x 解析式为 , 1( ) 2 , 1 xe xh x ex e x     „ ,作出其图象,数形结合即可; 【详解】解:因为 ( ) 2f x ex e   单调递减, ( ) xg x e 单调递增, 且 f (1) e g  (1), 故 ( ) { ( )h x min f x , , 1( )} 2 , 1 xe xg x ex e x     „ , 作出函数 ( )h x 的图象如下: - 13 - 函数 ( ) ( )Q x h x k  有两个零点等价于函数 ( )h x 与直线 y k 图象有 2 个交点, 由图可知, (0, )k e ; 故答案为: (0, )e . 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的 关键.要注意使用数形结合的数学思想,属于中档题. 16.如图,在矩形 ABCD 中,已知 2 2AB AD a  ,E 是 AB 的中点,将 ADE 沿直线 DE 翻折成 1A DE△ ,连接 1AC .若当三棱锥 1A CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 1A CDE 外接 球的体积为 8 2 3  ,则 a ______. 【答案】 2 【解析】 【分析】 当高最大值,体积最大,高最大为 2 2 a ,球心在平面 DEBC 的投影为 DC 中点G ,根据勾 股定理解得 R a ,代入体积公式计算得到答案. 【详解】三棱锥 1A CDE 的底面积为定值 2S a ,故当高最大值,体积最大, - 14 - 易知 1A DE△ 为等腰直角三角形,取 DE 中点为 F ,连接 1A F ,故 1A F DE , 当平面 1A DE  平面 DEBC 时,高最大为 2 2 a , 易知 DEC 为等腰直角三角形,球心在平面 DEBC 的投影为 DC 中点G , 且 DEC 的外接圆半径为 r a ,设OG h , 1 2 2 2FG EC a  故 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R h a R a a h                       ,解得 R a , 0h  , 34 8 2 3 3V R   ,故 2R  ,即 2a  . 故答案为: 2 . 【点睛】本题考查了三棱锥体积的最值问题,三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能 力和空间想象能力. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 - 15 - 22 2 cos 2 cos cos2 Aa b C c B        . (1)求角 A 的大小; (2)若 6 2c  ,且 AB 边上的高等于 1 3 AB ,求sinC 的值. 【答案】(1) 4A  ;(2) 3 10sin 10C  . 【解析】 【分析】 (1)先根据二倍角余弦公式化简,再根据正弦定理化边为角,即得结果; (2)根据 AB 边上的高可得 ,AD BD 以及 BC ,再根据正弦定理求sinC 的值. 【详解】(1)依题意得 1 cos2 2 2 cos cos2 Aa b C c B         , 2 cos cos cosa A b C c B      根据正弦定理得 2 sin cos sin cos sin cosA A B C C B    ,  2 sin cos sinA A B C   2 sin cos sinA A A  .  0,A  , sin 0A  . 2 cos 1A  ,即 2cos 2A  .  0,A  , 4A  . (2)设 AB 边上的高为 CD , 在 Rt CDA△ 易得 2 2AD CD  , 则 4 2BD  . 在 Rt CDB△ 中,根据勾股定理, 得 2 2 2 10BC CD BD   . 在 ABC 中,根据正弦定理 sin sin AB BC C A  , - 16 - 得 26 2sin 3 102sin 102 10 AB AC BC    . 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、正弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题. 18.如图,四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形,PA PC ,BD PA , E 是 BC 上一点,且 1BE  ,设 AC BD O . (1)证明: PO  平面 ABCD ; (2)若 60BAD   , PA PE ,求三棱锥 P AOE 的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2) 3 2 . 【解析】 【分析】 (1)由已知可先证 BD  平面 PAC ,得到 BD PO ,再由 PO AC ,进一步得到 PO  平面 ABCD ; (2)根据条件,解三角形求出三棱锥 P AOE 的高 PO ,底面积 AOES ,再利用棱锥的体积 公式求出三棱锥 P AOE 的体积 【详解】(1)证明: 四边形 ABCD 是菱形, BD AC  ,O 是 AC 的中点. BD PA , PA AC A , BD  平面 PAC . PO  平面 PAC , BD PO  . PA PC ,O 是 AC 的中点, PO AC  . AC  平面 ABCD , BD  平面 ABCD , AC BD O , PO  平面 ABCD . - 17 - (2)解:由四边形 ABCD 是菱形, 60BAD  , 得 ABD△ 和 BCD 都是等边三角形 4BD AB   . O 是 BD 的中点, 2BO  . 在 Rt ABO△ 中, 2 2 2 3AO AB BO   . 在 Rt PAO△ 中, 2 2 2 212PA AO PO PO    . 取 BC 的中点 F,连接 DF ,则 DF BC . 在 Rt BDF△ 中, 2 2 2 3DF BD BF   . 1BE  , E 是 BF 的中点.又 O 是 BD 的中点, 1 32OE DF   . 在 Rt POE 中, 2 2 2 23PE OE PO PO    . 在 ABE△ 中,由余弦定得 2 2 2 2 cos120 21AE AB BE AB BE      . PA PE , 2 2 2PA PE AE   . 2 212 3 21PO PO     . 3PO  . AOE ABC ABE COES S S S   △ △ △ 1 1 1 3 34 4 sin120 4 1 sin120 3 32 2 2 2             , 1 1 3 3 333 3 2 2P AOE AOEV S PO      △ . 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,棱锥的体积的计算,解三角形,余弦定理,三角 形的面积公式,考查空间想象能力与思维能力,运算能力,属于中档题. 19.为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的质量情况, 分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取 100 件产品进行质量检测,所有产品质量指 - 18 - 标值均在  15,45 以内,规定质量指标值大于 30 的产品为优质品,质量指标值在 15,30 的产 品为合格品,旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示,新设备所生产的产品 质量指标值如频数分布表所示. 质量指标值 频数  15,20 2  20,25 8  25,30 20  30,35 30  35,40 25  40,45 15 合计 100 (1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率. (2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能越高,根 据已知图表数据填写下面列联表(单位:件),并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于 新设备有关”. - 19 - 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附: P( 2 0K k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . (3)已知每件产品的纯利润 y(单位:元)与产品质量指标值 t 的关系式为 2,30 45, 1,15 30, ty t      若每台新设备每天可以生产 1000 件产品,买一台新设备需要 80 万元,请估计至少需要生产 多少天方可以收回设备成本. 【答案】(1)70%,55%;(2)列联表见解析,有 95%的把握认为产品质量高与新设备有关; (3)471 天方. 【解析】 【分析】 (1)根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后 3 组的频率之和即为旧设备 所生产的产品的优质品率,根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设 备所生产的产品的优质品率; (2)根据题目所给的数据填写 2 2 列联表,计算 K 的观测值 2K ,对照题目中的表格,得出 统计结论; (3)根据新设备所生产的产品的优质品率,分别计算 1000 件产品中优质品的件数和合格品 的件数,得到每天的纯利润,从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本. - 20 - 【详解】解: (1)估计新设备所生产的产品的优质品率为: 30 25 15 0.7 70%100     , 估计旧设备所生产的产品的优质品率为:  5 0.06 0.03 0.02 0.55 55%     . (2) 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 由列联表可得,  2 2 200 30 55 45 70 4.8 3.84175 125 100 100K         , 有95%的把握认为产品质量高与新设备有关. (3)新设备所生产的产品的优质品率为 0.7 每台新设备每天所生产的 1000 件产品中,估计有1000 0.7 700  件优质品, 有1000 700 300  件合格品. 估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为 700 2 300 1 1700    (元). 800000 1700 471  (天), 估计至少需要生产 471 天方可以收回设备成本. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,考查了频率分布直方图,也考查了计算能力的 应用问题,属于中档题. 20.已知曲线 C 上每一点到直线 l: 2y   的距离比它到点  0,1F 的距离大 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 任意一点处的切线 m(不含 x 轴)与直线 2y  相交于点 M,与直线 l 相交于点 N, 证明: 2 2FM FN 为定值,并求此定值. 【答案】(1) 2 4x y ;(2)证明见解析, 2 2FM FN 为定值 0. - 21 - 【解析】 【分析】 (1)利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点, y 轴为对称轴, (0,1)F 为焦点的抛物线, 从而求出曲线C 的方程; (2)依题意,切线 m 的斜率存在且不等于 0,设切线 m 的方程为: ( 0)y ax b a   ,与抛 物线方程联立,利用△ 0 得到 2b a  ,故切线 m 的方程可写为 2y ax a  ,进而求出点 M , N 的坐标,用坐标表达出 FM  和 FN  ,即可证得 2 2| | | |FM FN 为定值. 【详解】解:(1)由题意可知,曲线 C 上每一点到直线 1y   的距离等于该点到点  0,1F 的 距离, 曲线 C 是顶点在原点,y 轴为对称轴,  0,1F 为焦点的抛物线. 曲线 C 的轨迹方程为: 2 4x y . (2)依题设,切线 m 的斜率存在且不等于零,设切线 m 的方程为 y ax b  ( 0a  ), 代入 2 4x y 得  2 4x ax b  ,即 2 4 4 0x ax b   . 由 0  得 24 16 0a b  ,化简整理得 2b a  . 故切线 m 的方程可写为 2y ax a  . 分别令 2y  , 2y   得 M,N 的坐标为 2 ,2M aa     , 2 , 2N aa       , 2 ,1FM aa        , 2 , 3FN aa         . 2 2 2 2 2 21 9 0FM FN a aa a                    . 即 2 2FM FN 为定值 0. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义,以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题. 21.已知函数   xf x ae ex a   ( a e ),其中 e 为自然对数的底数. - 22 - (1)若 2a  ,求函数  f x 在点   1, 1f 处的切线方程; (2)若函数  f x 的极小值为 1 ,求 a 的值. 【答案】(1) 2y ex  ;(2) 1a  . 【解析】 【分析】 (1)求导计算  1f e  ,  1 2f e  ,得到切线方程. (2)考虑 0a  和 0 a e  两种情况,求导得到函数单调区间,得到 ln 1 0e a a   ,构造 函数,根据单调性计算得到答案. 【详解】(1) 2a  ,   2 2xf x e ex    ,   2 xf x e e   ,  1 2f e e e    ,  1 2 2 2f e e e     , 函数  f x 在点   1, 1f 处的切线方程为:    2 1y e e x    ,即 2y ex  . (2)函数  f x 的定义域为  ,  ,   xf x ae e   , 当 0a  时,   0f x  对于  ,x   恒成立,  f x 在  ,  单调递减,  f x 在 ,  上无极值. 当 0 a e  时,令   0f x  ,得 ln ex a  . 当 ln ,ex a      时,   0f x  ,当 ,ln ex a      时,   0f x  .  f x 在 ,ln e a     单调递减,在 ln ,e a     单调递增, 当 ln ex a  时,  f x 取得极小值 1 . ln ln ln 1 e ae ef ae e aa a          ,即 ln 1 0e a a   . 令   ln 1m x e x x   ( 0 x e  ),则   1e e xm x x x     . 0 x e  ,   0m x  ,  m x 在 0,e 上单调递增. - 23 - 又  1 0m  , 1a = . 【点睛】本题考查了求切线方程,根据函数极值求参数,意在考查学生的计算能力和转化能 力. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 2 2 112 4 x y  ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为  2 cos 4 0a a       . (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)已知 P 是曲线 C 上的一动点,过点 P 作直线 1l 交直线于点 A,且直线 1l 与直线 l 的夹角为 45°,若 PA 的最大值为 6,求 a 的值. 【答案】(1) 0x y a   (2) 2a  【解析】 【分析】 (1)利用两角差的余弦公式把 2 cos 4 a      展开,结合 cosx   , siny   可 得直线l 的直角坐标方程; (2)依题意可知曲线 C 的参数方程为 2 3 cos 2sin x y      ( 为参数),设  2 3 cos ,2sinP   , 写出点 P 到直线l 的距离,利用三角函数求其最大值,可得 PA 的最大值,结合已知列式求解 a 即可. 【详解】(1)由 2 cos 4 a      ,得 2 cos cos sin sin4 4 a        , 即 cos sin a     . ∵ cosx   , siny   , - 24 - ∴直线l 的直角坐标方程为 x y a  ,即 0x y a   . (2)依题意可知曲线C 的参数方程为 2 3 cos 2sin x y      ( 为参数). 设  2 3 cos ,2sinP   ,则点 P 到直线l 的距离为: 4sin2 3 cos 2sin 3 2 2 aa d           . ∵ 0a  , ∴当 sin 13       时, max 4 2 ad   . 又过点 P 作直线 1l 交直线于点 A,且直线 1l 与直线l 的夹角为 45 , ∴ cos45d PA   ,即 2PA d . ∴ PA 的最大值为 max2 6d  ,即 42 6 2 a   . ∵ 2a  ,∴解得 2a  . 【点睛】本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,第二问考查了利用椭圆 的参数方程求最值,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数   | 1| | 3|f x x x    . (1)解不等式:   6f x  ; (2)若 a,b,c 均为正数,且  mina b c f x   ,证明:     2 2 2 491 1 1 3a b c      . 【答案】(1) 2{ | }4x x   (2)见解析 【解析】 【分析】 - 25 - (1)由         2 2, 3 1 3 4, 3 1 2 2, 1 x x f x x x x x x                ,再分 3x   , 3 1x   ,x>1 求解. (2)由(1)得到 4a b c   ,构造     1 1 1 7a b c      ,两边平方展开,再利用 基本不等式求解. 【详解】(1)函数         2 2, 3 1 3 4, 3 1 2 2, 1 x x f x x x x x x                . 当 3x   时, 2 2 6x   ,解得 4x   , 故 4 3x  < . 当 3 1x   时,4≤6,恒成立. 当 1x  时, 2 2 6x   ,解得 2x  , 故1 2x < , 所以不等式的解集为 2{ | }4x x   . (2)由(1)知:  min 4f x  ,所以: 4a b c   , 所以     1 1 1 7a b c      , 所以       2 1 1 1 49a b c        , 所以               2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 49a b c a b a c b c                    2 2 23 1 1 1a b c        . 当且仅当 4 3a b c   时,等号成立. 所以     2 2 2 491 1 1 3a b c      . 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,还考查了转化求解问题的 能力,属于中档题. - 26 - - 27 -