云南民族大学附属中学2020届高三第二次高考仿真模拟数学（文）试题（解析版） Word版含解析 20页

2020 届高三第二次高考仿真模拟（文科数学） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】解： 集合 0，1，2，3， ， ， 3， ， 的真子集的个数为： 个． 故选：C． 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 的真子集的个数． 本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 2. 在复平面内，复数 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】解： ， 复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限． 故选：A． 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3. 每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种， 并将投保的渔船分为Ⅰ，Ⅱ两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019 年Ⅰ，Ⅱ两类渔船 的台风遭损率分别为 和 年初，在修复遭损船只的基础上，对Ⅰ类渔船中的 进 一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船 2020 年的台风遭损率将降为 ，而其他渔船的 台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是 A. 2019 年投保的渔船的台风遭损率为 B. 2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过 C. 预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率会小于 II 类渔船的台风遭损率的两倍 D. 预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II 类渔船因台风遭损的数量 【答案】D 【解析】解：设全体投保的渔船为 t 艘， 对于 A，2019 年投保的渔船的台风台风遭损率为 ，故 A 错误； 对于 B，2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为： ，故 B 错误； 对于 C，预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率为： ，故 C 错 误； 对于 D，预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量： 少于 II 类渔船因台 风遭损的数量： ，故 D 正确． 故选：D． 仔细观察频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音， “宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为 原来的 ，得到“商”； 依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据 此可推得 A. “宫、商、角”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列 【答案】A 【解析】解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为 ，“徵”经过 一次“益”，可得“商”的频率为 ， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为 ，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率 是 ， 由于 a， ， 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A． 根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断． 本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题． 5. 若 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】B 【解析】【分析】 可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论， 即可找出正确选项． 考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念． 【解答】 解： 错误，由 ，得不出 内的直线都垂直于 ； B.正确， ，根据线面平行的性质定理知， 内存在直线 ， ， ， ， ； C.错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行、可能相交，即不一定得 到 ； D.错误，可以想象两个平面 、 都和 相交，交线平行，这两个平面不一定平行． 故选：B． 6. 若 ，函数 的值域为 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 函数 ，其中 ， ， ． 令 ， ， ， ， ， ，且 ， ． ，即 ． 当 时， 单调递减． ， ． 的取值范围是 故选：D． 由函数 ，其中 ， ， 令 ， ，由 ， ，可得 ，由 ，且 可得 ， 可得 当 时， 单调递减．即可得出． 本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 7. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： ， ， ， ． 故选：C． 由 ， ，可得 a，b 都小于 0，再与 比较大小即可得出关系，c 大于 0． 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为 ，所以 是偶函数，排除 C 和 D． 当 时， ， ，令 ，得 ；令 ， 得 ． 所以 在 处取得极小值，排除 B， 故选：A． 利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 时，其在 处取得极小值，可排除 B， 由此得解． 本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 9. 已知向量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ， ． 故选：B． 直接利用向量的数量积化简求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题． 10. 已知三棱锥 中，侧面 底面 BCD， 是边长为 3 的正三角形， 是 直角三角形，且 ， ，则此三棱锥外接球的体积等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：三棱锥 中，侧面 底面 BCD，把该三棱 锥放入长方体中，如图所示； 且 ； 设三棱锥外接球的球心为 O，则 ， ， 所以三棱锥外接球的半径为 ， 所以三棱锥外接球的体积为 ． 故选：B． 把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的 体积． 本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 P，若函数 的 图象与点 P 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设 P 的坐标为 ，左焦点 ， 函数的导数 ，则在 P 处的切线斜率 ， 即 ，得 ， 则 ，设右焦点为 ， 则 ， 即 ， ， 双曲线的离心率 ， 故选：D． 设 P 的坐标为 ，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出 ，根据双曲线的定义求出 a，c 即可． 本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出 a，c 是解决本题 的关键．考查运算能力． 12. 已知不等式 对 恒成立，则实数 a 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等 价变形等，属于难题． 将原不等式化为 对 恒成立；设函数 ，即 对 恒成立；讨论函数 的单调性； 【解答】 解：不等式 对 恒成立； 即 对 恒成立； 即 对 恒成立； 设函数 ，则 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 即 对 恒成立； 时， ； 根据选项，只需讨论 的情况； 当 时， 在 上单调递减， 则 ； 则 ，两边取 e 为底的对数， 得： ； 即 设函数 ， 则 ； 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减； 则 ， 即 ； 故选：C． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为______． 【答案】 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 得 ， 平移直线 ， 由图象可知当直线 经过点 时，直线的截 距最小， 此时 z 最小， 此时 ， 故答案为： ． 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基 本方法． 14. 若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 2 个点，则该抛物线的标 准方程可以是______． 【答案】 或 【解析】解：由题意可得，抛物线方程为 或 ． 若抛物线方程为 ，代入 ，得 ， 则抛物线方程为 ，此时 在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为 ，代入 ，得 ， 则抛物线方程为 ，此时 在抛物线上，符合题意． 抛物线的标准方程可以是 或 ． 故答案为： 或 ． 由题意可设抛物线方程为 或 ，然后分类求解得答案． 本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题． 15. 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， 若点 D 在边 BC 上，且 ，则 AD 的最大值是______． 【答案】 【解析】解： 中， ，由正弦定理得， ， 因为 ，所以 ； 又因为 ，所以 ； 设 外接圆的圆心为 O，半径为 R，则由正弦定理得， ； 取 BC 的中点 M，如图所示； 在 中， ， ； 在 中， ， ； 由 ，当且仅当圆心 O 在 AD 上时取“ ”； 所以 AD 的最大值是 ． 故答案为： ． 中利用正弦定理转化求得 A 的值，再求出 外接圆的半径；取 BC 的中点 M，利用直 角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出 AD 的最大值． 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题． 16. 已知下列命题： 函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 若函数 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是 ； 当 时，函数 的最大值为 0； 函数 在 上单调递减； 上述命题正确的是______ 填序号 ． 【答案】 【解析】解： 根据复合函数同增异减的性质，可知函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，故 正确； 令 ，则函数 的图象与直线 有两个交点，根据函数 的图象可知 ，故 正确； 当 时， ， 所以 当且仅当 ，即 时取等号 ， 所以函数 的最大值为 ，故 不正确． ，当 时， ， 此时 单调递减，故 正确； 故答案为： ． 在 上单调递减，在 上单调递增； 函数 在 R 上有两个零点，即方程 在 R 上有两个不同的方程根，分别画出 和 的 图象，可得 a 的取值范围是 ； 由基本不等式可得当 时，函数 的最大 值为 ； 化简函数 可得，函数 在 上单调递减． 本题考查命题的真假判断，以及函数的基本性质，指数函数的图象变换，基本不等式的应用和正余 弦函数的性质，属于基础题． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 是正三角形，且 E 为 AD 的中点，F 为 PE 的中点， 平面 PAD． 证明：平面 平面 PEB； 求点 P 到平面 BCF 的距离． 【答案】 证明： 平面 PAD， 平面 PAD， ， 又 是正三角形，E 为 AD 的中点， ， 又 ， 平面 PEB， 又因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ， 平面 PEB， 又因为 平面 PBC，所以平面 平面 PEB． 解：因为 F 为 PE 中点，所以点 P 到平面 BCF 的距离与 E 到平面 BCF 的距离相等， 即求 E 到平面 BCF 的距离相等， 由 ，得 ， ， ，即点 P 到平面 BCF 的距离是 ． 【解析】 证明 ， ，推出 平面 PEB，然后证明 平面 PEB，得到 平面 平面 PEB． 通过点 P 到平面 BCF 的距离与 E 到平面 BCF 的距离相等，通过 ，转化求解 即可． 本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，等体积法的应用，空间距离的求法，考查空间 想象能力以及逻辑推理计算能力． 18. 设 是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 已知 ， ， 成等比数列， ． 求 的通项公式； 设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 ． 【答案】解： 设等差数列 的公差为 ， 由题意， ，解得 ． ； ， ， ． 【解析】 设等差数列 的公差为 ，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公 式可求； 求出数列 的通项公式，可得 ，再由数列的分组求和与等比数列的 前 n 项和求解． 本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式与前 n 项和的求法，训练了数列的分组求和与等比数 列的前 n 项和，是中档题． 19. 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别 从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均 在 以内，规定质量指标值大于 30 的产品为优质品，质量指标值在 的产品为合格 品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值 如频数分布表所示． 质量指标 频数 2 8 20 30 25 15 合计 100 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率． 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已 知图表数据填写下面列联表 单位：件 ，并判断是否有 的把握认为“产品质量高与新设备 有关”． 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： ，其中 ． 已知每件产品的纯利润 单位：元 与产品质量指标值的关系式为 ， 若每台新设备每天可以生产 100 件产品，买一台新设备需要 80 万元，请估计至少需要生产多少 天方可以收回设备成本． 【答案】解： 估计新设备所生产的产品的优质品率为： ， 估计旧设备所生产的产品的优质品率为： ； 根据题目所给数据得到如下 的列联表： 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 由列联表可知： ， 有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”； 新设备所生产的产品的优质品率为 ， 每台新设备每天所生产的 1000 件产品中，估计有 件优质品，有 件合格品， 估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为 元 ， 天 ， 估计至少需要生产 471 天方可以收回设备成本． 【解析】 根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后 3 组的频率之和即为旧设备 所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生 产的产品的优质品率； 根据题目所给的数据填写 列联表，计算 K 的观测值 ，对照题目中的表格，得出统计结 论； 根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算 1000 件产品中优质品的件数和合格品的件数， 得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本． 本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基 础题目． 20. 已知函数 ． 讨论函数 极值点的个数； 当 时，不等式 在 上恒成立，求实数 k 的取值范围． 【答案】解： ， 当 时， ，所以 在 R 上单调递增，无极值． 当 时，令 ，得 ， 当 时， ；当 时， 即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 此时只有一个极值点． 综上所述，当 时， 在 R 上无极值点； 当 时，函数 在 R 上只有一个极值点． 当 时，由题即 在 上恒成立 令 且 ， 则 ， ， 则 且 ， 当 时，即 时， 由于 ， ，而 ， 所以 ，故 在 上单调递增，所以 ， 即 ，故 在 上单调递增，所以 ， 即 在 上恒成立，故 符合题意． 当 时，即 时 ， 由于 在 上单调递增， 令 因为 ， 故在 上存在唯一的零点 ，使 ， 因此，当 时， ， 单调递减，所以 ， 即 ， 在 上单调递减，故 ，与题不符． 综上所述，k 的取值范围是 ． 【解析】 求出导函数 ，通过 当 时， 当 时，判断导函数的符号， 判断函数的单调性，求解函数的极值即可． 当 时，由题即 在 上恒成立，令 且 ，通过函数的导数，结合 当 时， 当 时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解 k 的取值范围． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题． 21. 已知圆 C： 与定点 ，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E． Ⅰ 求曲线 E 的方程； Ⅱ 斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线 上的一点，若 为等边三角形，求直线 l 的方程． 【答案】解： Ⅰ 设圆 I 的半径为 r，题意可知，点 I 满足： ， ， 所以， ， 由椭圆定义知点 I 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆， 所以 ， ， ， 故轨迹 E 方程为： ； Ⅱ 直线 l 的方程为 ， 联 消去 y 得 ． 直线 恒过定点 ，在椭圆内部，所以 恒成立，设 ， ， 则有 ， ， 所以 ， 设 AB 的中点为 ，则 ， ， 直线 PQ 的斜率为 由题意知 ，又 P 为直线 上的一点，所以 ， ， 当 为等边三角形时， ， 即 ， 解得 ，即直线 l 的方程为 ，或 ． 【解析】 Ⅰ 设圆 I 的半径为 r，由题意可得 为定值，由椭圆的定义可得 E 的轨迹为椭圆，且可知 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； Ⅱ 设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出 AB 的中点 D 的坐标，进而求出 弦长 ，可得直线 PQ 的斜率，再由 P 在直线 上，可得 的长，由 为等边三角 形时， ，进而求出 k 的值． 本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 ． 【答案】解： 直线 l 的参数方程为 为参数 ， 直线 l 的普通方程为 ， 曲线 C 的极坐标方程为 ． ， 曲线 C 的直角坐标方程为 ． 联立 ，得 ， ， 设 ， ，则 ， 直线 l 恰好过抛物线 的焦点， ． 【解析】 由直线 l 的参数方程能求出直线 l 的普通方程，由曲线 C 的极坐标方程，能求出曲线 C 的直角坐标方程． 联立 ，得 ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出 ． 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角 坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23. 已知函数 ． Ⅰ 求不等式 ； Ⅱ 若不等式 的解集包含 ，求实数 a 的取值范围 【答案】解： Ⅰ ． 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ． 综上，不等式 的解集为 ． Ⅱ 对 ， 恒成立， 即 在 恒成立， 即 ， ， 在 恒成立， ， ． 【解析】 Ⅰ 由绝对值的意义，讨论 x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集； Ⅱ 由题意可得 在 恒成立，即 ，由绝对值不 等式的解法和参数分离，结合恒成立问题解法可得 a 的范围． 本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和化简运算能力，属于 中档题．