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- 2021-06-16 发布
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2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时)
一. 教学目标:
1.知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景;
②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;
2.情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
②培养学生观察问题,分析问题的能力.
3.过程与方法
展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.
二.重、难点
重点:指数函数的概念和性质及其应用.
难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.
三、学法与教具:
①学法:观察法、讲授法及讨论法.
②教具:多媒体.
第一课时
一.教学设想:
1. 情境设置
①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 1.073 ( 20)xy x x 与问题(2)
]t5
1
301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( )2 ,请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征
1
57301] [( ) ]2
tP
t
57301把P=[( ) 变成2 ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量
为指数,即都可以用 xy a ( a >0 且 a ≠1 来表示).
二.讲授新课
指数函数的定义
一般地,函数 xy a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义
域为 R.
提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1) 22xy (2) ( 2)xy (3) 2xy
(4) xy (5) 2y x (6) 24y x
(7) xy x (8) ( 1)xy a ( a >1,且 2a )
小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, xa 是一个
确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.
0 00,
0 x
x aa
x a
x当 时, 等于若
当 时, 无意义
若 a <0,如 1( 2) , , 8
xy x x 1先时,对于 = 等等,6 在实数范围内的函数值不存在.
若 a =1, 1 1,xy 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 ( 0, 1)xy a a a 且 的
形式才能称为指数函数, 5, , 3 , 3 1x x xa y x y y
1
x x为常数,象y=2-3 ,y=2 等等,不符
合 ( 0 1)xy a a a 且 的形式,所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研
究. 下面我们通过
先来研究 a >1 的情况
用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 2xy 的图象
x 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
2xy 1
8
1
4
1
2 1 2 4
再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 1( )2
xy 的图象.
x 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
1( )2
xy 1
4
1
2 1 2 4
-
-
-
-
- - ---- --- -
x
y
0
y=2x
-
-
-
- - ---- --- -
x
y
0
1
2
x
y
-
-
-
- - ---- --- -
x
y
0
从图中我们看出 12 ( )2
x xy y 与 的图象有什么关系?
通过图象看出 12 ( )2
x xy y y 与 的图象关于 轴对称, 实质是 2xy 上的 x,y点(- )
xy x,y y1与 =( ) 上点(- )关于 轴对称.2
讨论: 12 ( )2
x xy y 与 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
② 利 用 电 脑 软 件 画 出 1 15 , 3 , ( ) , ( )3 5
x x x xy y y y 的 函 数 图 象 .
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从 图 上 看 xy a ( a > 1 ) 与 xy a ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、
奇偶性.
问题 3:指数函数 xy a ( a >0 且 a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.
图象特征 函数性质
a >1 0< a <1 a >1 0< a <1
向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R
图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数
3xy
5xy
1
3
x
y
1
5
x
y
0
( 1)xy a a (0 1)xy a a
0
函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+
函数图象都过定点(0,1) 0a =1
自左向右,
图象逐渐上升
自左向右,
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于 1
在第一象限内的图
象纵坐标都小于 1 x >0, xa >1 x >0, xa <1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于 1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于 1 x <0, xa <1 x <0, xa >1
5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[ , ] xa b f x a上, ( )= ( a >0 且 a ≠1)值域是[ ( ), ( )] [ ( ), ( )];f a f b f b f a或
(2)若 0,x f x f x x 则 ( ) 1; ( )取遍所有正数当且仅当 R;
(3)对于指数函数 ( ) xf x a ( a >0 且 a ≠1),总有 (1) ;f a
(4)当 a >1 时,若 1x < 2x ,则 1( )f x < 2( )f x ;
例题:
例 1:(P56 例 6)已知指数函数 ( ) xf x a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π),求
(0), (1), ( 3)f f f 的值.
分析:要求 (0), (1), ( 3) , ,xf f f a x
1
3的值,只需求出 得出f( )=( ) 再把 0,1,3 分别
代入 x ,即可求得 (0), (1), ( 3)f f f .
提问:要求出指数函数,需要几个条件?
课堂练习:P58 练习:第 1,2,3 题
补充练习:1、函数 1( ) ( )2
xf x 的定义域和值域分别是多少?
2、当 [ 1,1] , ( ) 3 2xx f x 时 函数 的值域是多少?
解(1) , 0x R y
(2)(- 5
3
,1)
例 2:求下列函数的定义域:
(1)
4
42 xy (2) | |2( )3
xy
分析:类为 ( 1, 0)xy a a a 的定义域是 R,所以,要使(1),(2)题的定义域,保
要使其指数部分有意义就得 .
3.归纳小结
作业:P59 习题 2.1 A 组第 5、6 题
1、理解指数函数 ( 0), 1 0 1xy a a a a 注意 与 两种情况。
2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的
数学思想 .
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