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  • 2021-06-16 发布

人教A版数学必修一2-1-2指数函数及其性质(1)

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2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时) 一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 第一课时 一.教学设想: 1. 情境设置 ①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 1.073 ( 20)xy x x   与问题(2) ]t5 1 301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( )2 ,请问这两个函数有什么共同特征. ②这两个函数有什么共同特征 1 57301] [( ) ]2 tP  t 57301把P=[( ) 变成2 ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量 为指数,即都可以用 xy a ( a >0 且 a ≠1 来表示). 二.讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数 xy a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) 22xy  (2) ( 2)xy   (3) 2xy   (4) xy  (5) 2y x (6) 24y x (7) xy x (8) ( 1)xy a  ( a >1,且 2a  ) 小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, xa 是一个 确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R. 0 00, 0 x x aa x a     x当 时, 等于若 当 时, 无意义 若 a <0,如 1( 2) , , 8 xy x x  1先时,对于 = 等等,6 在实数范围内的函数值不存在. 若 a =1, 1 1,xy   是一个常量,没有研究的意义,只有满足 ( 0, 1)xy a a a  且 的 形式才能称为指数函数, 5, , 3 , 3 1x x xa y x y y    1 x x为常数,象y=2-3 ,y=2 等等,不符 合 ( 0 1)xy a a a  且 的形式,所以不是指数函数 . 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过 先来研究 a >1 的情况 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 2xy  的图象 x 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2xy  1 8 1 4 1 2 1 2 4 再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 1( )2 xy  的图象. x 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50 1( )2 xy  1 4 1 2 1 2 4 - - - - - - ---- --- - x y 0 y=2x - - - - - ---- --- - x y 0 1 2 x y      - - - - - ---- --- - x y 0 从图中我们看出 12 ( )2 x xy y 与 的图象有什么关系? 通过图象看出 12 ( )2 x xy y y 与 的图象关于 轴对称, 实质是 2xy  上的 x,y点(- ) xy x,y y1与 =( ) 上点(- )关于 轴对称.2 讨论: 12 ( )2 x xy y 与 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ② 利 用 电 脑 软 件 画 出 1 15 , 3 , ( ) , ( )3 5 x x x xy y y y    的 函 数 图 象 . 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 xy a ( a > 1 ) 与 xy a ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 . 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、 奇偶性. 问题 3:指数函数 xy a ( a >0 且 a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. 图象特征 函数性质 a >1 0< a <1 a >1 0< a <1 向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 3xy  5xy  1 3 x y      1 5 x y      0 ( 1)xy a a (0 1)xy a a   0 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1) 0a =1 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 x >0, xa >1 x >0, xa <1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 x <0, xa <1 x <0, xa >1 5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[ , ] xa b f x a上, ( )= ( a >0 且 a ≠1)值域是[ ( ), ( )] [ ( ), ( )];f a f b f b f a或 (2)若 0,x f x f x x  则 ( ) 1; ( )取遍所有正数当且仅当 R; (3)对于指数函数 ( ) xf x a ( a >0 且 a ≠1),总有 (1) ;f a (4)当 a >1 时,若 1x < 2x ,则 1( )f x < 2( )f x ; 例题: 例 1:(P56 例 6)已知指数函数 ( ) xf x a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π),求 (0), (1), ( 3)f f f  的值. 分析:要求 (0), (1), ( 3) , ,xf f f a x  1 3的值,只需求出 得出f( )=( ) 再把 0,1,3 分别 代入 x ,即可求得 (0), (1), ( 3)f f f  . 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P58 练习:第 1,2,3 题 补充练习:1、函数 1( ) ( )2 xf x  的定义域和值域分别是多少? 2、当 [ 1,1] , ( ) 3 2xx f x   时 函数 的值域是多少? 解(1) , 0x R y  (2)(- 5 3 ,1) 例 2:求下列函数的定义域: (1) 4 42 xy  (2) | |2( )3 xy  分析:类为 ( 1, 0)xy a a a   的定义域是 R,所以,要使(1),(2)题的定义域,保 要使其指数部分有意义就得 . 3.归纳小结 作业:P59 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 ( 0), 1 0 1xy a a a a    注意 与 两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的 数学思想 .