高中数学人教a版必修四课时训练：第二章 章末复习课2 word版含答案 5页

章末复习课 课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表 示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构 一、选择题 1．若向量 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( ) A．20 B．(－10,30) C．54 D．(－8,24) 2．已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 与 a 垂直，则λ等于( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 3．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，那么( ) A. AO→ ＝OD→ B. AO→ ＝2OD→ C. AO→ ＝3OD→ D．2AO→ ＝OD→ 4．在平行四边形 ABCD 中，AC→＝(1,2)，BD→ ＝(－3,2)，则AD→ ·AC→等于( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 5．若向量 a 与 b 不共线，a·b≠0，且 c＝a－ a·a a·b b，则向量 a 与 c 的夹角为( ) A．0 B.π 6 C.π 3 D.π 2 6．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，点 P 在 AM 上且满足AP→＝2PM→ ，则AP→·(PB→＋PC→) 等于( ) A.4 9 B.4 3 C．－4 3 D．－4 9 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．过点 A(2,3)且垂直于向量 a＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，则 b 在 a 上的投影是______． 9．设向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 三、解答题 11．已知 A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(－2,3)，以AB→、AC→为一组基底来表示AD→ ＋BD→ ＋CD→ . 12．设 a，b 是两个不共线的非零向量，t∈R. (1)若 a 与 b 起点相同，t 为何值时 a，tb，1 3(a＋b)三向量的终点在一直线上？ (2)若|a|＝|b|且 a 与 b 夹角为 60°，那么 t 为何值时，|a－tb|的值最小？ 能力提升 13．已知点 O 为△ABC 所在平面内一点，且 OA→ 2＋BC→ 2＝OB→ 2＋CA→ 2＝OC→ 2＋AB→ 2，则 O 一定 是△ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 14. 如图，平面内有三个向量OA→ 、OB→ 、OC→ ，其中OA→ 与OB→ 的夹角为 120°，OA→ 与OC→ 的夹角为 30°，且|OA→ |＝|OB→ |＝1，|OC→ |＝2 3.若OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ (λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值． 1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有 两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于 坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题． 2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行 分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧． 章末复习课 答案 作业设计 1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)， ∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选 B.] 2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选 A.] 3．A [由题意 D 是 BC 边的中点， 所以有OB→ ＋OC→ ＝2OD→ ， 所以 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝2OA→ ＋2OD→ ＝2(OA→ ＋OD→ )＝0⇒OA→ ＋OD→ ＝0⇒AO→ ＝OD→ .] 4．D [AC→＝AB→＋AD→ ＝(1,2)，BD→ ＝AD→ －AB→＝(－3,2)，解得AD→ ＝(－1,2)，∴AD→ ·AC→＝(－ 1,2)·(1,2)＝3.故选 D.] 5．D [∵a·c＝a· a－ a·a a·b b ＝a·a－ a·a a·b ·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝π 2.] 6．A [易知 P 为△ABC 的重心，则PB→＋PC→＝－PA→＝AP→，故AP→·(PB→＋PC→)＝AP→ 2＝4 9 ，故选 A.] 7．2x＋y－7＝0 解析 设直线上任一点 P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)． 由AP→·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得 2x＋y－7＝0. 8．1 解析 b 在 a 上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1. 9．2 解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与 c＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2. 10. 10 解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝1 2.又∵|β|＝2， ∴|2α＋β|＝ 2α＋β2＝ 4α2＋4α·β＋β2＝ 4＋4×1 2 ＋4＝ 10. 11．解 ∵AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→ ＝(－3,5)， BD→ ＝(－4,2)，CD→ ＝(－5,1)， ∴AD→ ＋BD→ ＋CD→ ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对 m，n 使得 AD→ ＋BD→ ＋CD→ ＝mAB→＋nAC→， ∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)． ∴ －12＝m＋2n， 8＝3m＋4n. ，得 m＝32，n＝－22. ∴AD→ ＋BD→ ＋CD→ ＝32AB→－22AC→. 12．解 (1)设 a－tb＝m[a－1 3(a＋b)]，m∈R， 化简得(2 3m－1)a＝(m 3 －t)b， ∵a 与 b 不共线， ∴ 2 3m－1＝0 m 3 －t＝0 ， ∴ m＝3 2 ， t＝1 2. ∴t＝1 2 时，a，tb，1 3(a＋b)的终点在一直线上． (2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2. ∴当 t＝1 2 时，|a－tb|有最小值 3 2 |a|. 13．C [由 OA→ 2＋BC→ 2＝OB→ 2＋CA→ 2，得 OA→ 2＋(OC→ －OB→ )2＝OB→ 2＋(OA→ －OC→ )2，得OC→ ·OB→ ＝ OA→ ·OC→ .∴OC→ ·AB→＝0，O 在边 AB 的高线上．同理 O 在边 AC 的高线上，即 O 为△ABC 的垂 心．故选 C.] 14．解 方法一 过点 C 分别作平行于 OB 的直线 CE 交直线 OA 于点 E，平行于 OA 的直线 CF 交直线 OB 于 点 F.如图所示． 在 Rt△OCE 中，|OE→ |＝ |OC→ | cos 30° ＝2 3 3 2 ＝4； |CE→|＝|OC→ |·tan 30°＝2 3× 3 3 ＝2， 由平行四边形法则知，OC→ ＝OE→ ＋OF→ ＝4OA→ ＋2OB→ ， ∴λ＝4，μ＝2. 方法二 如图所示，以OA→ 所在直线为 x 轴，过 O 垂直于 OA 的直线为 y 轴建立直角坐标系．设 B 点 在 x 轴的射影为 B′，C 点在 x 轴的射影为 C′. 易知，OC′＝2 3cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝ 3，BB′＝OBsin 60°＝ 3 2 ， OB′＝OBcos 60°＝1 2 ， ∴A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为 －1 2 ， 3 2 ， C 点坐标为(3， 3)． ∵OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ∴ λ－1 2μ＝3， 0·λ＋ 3 2 μ＝ 3， ∴ λ＝4 μ＝2 . 方法三 ∵OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ . ∴ OC→ ·OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ·OC→ OA→ ·OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ·OA→ ， ∴ 2 3× 3 2 λ＝12 λ－μ 2 ＝2 3× 3 2 ，解得λ＝4，μ＝2.