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- 2021-06-16 发布
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1
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算。
2.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个向量的垂直关系。
复习引入
1.向量的数量积 ____________ba
.
2. ji , 分别表示与 x 轴,y 轴同向的单位向量
(1)i 与 i 的夹角为_________, ii =_______;同理 jj =__________;
(2)i 与 j 的夹角为_________, ijji =_______;
(3)如果 jyixa ,则 a 的坐标表示为 ) (a .
学习探究
1.阅读课本第 106 页,完成下面的问题:
(1)若 )(),( 2211 yxbyxa ,, ,则 _________ba
;
(2)若 )( yxa , ,则 ____________2 aaa , _________|| a ;
(3)设 )(),( 2211 yxbyxa ,, ,若 ____________________ ba
;
(4)设 )(),( 2211 yxbyxa ,, ,则 _________|| a , _________|| b
,
_________________________________ ba
,
_________________________________cos .
2.阅读课本第 107 页例 6,完成练习 1,2.
3.已知 )2,1(),1,3( ba , 求:
(1) ba ; (2) a 与b 的夹角; (3) a 在b 方向上的投影.
4.阅读课本第 106 页例 5,完成课本第 108 页 A 组 5,9,11.
技能提升
1.已知 ),3( ma , )1,2( b ,若 ba
,则实数 m 的值是 .
2.已知 ),1( ),,4( ),1,2( ncmba ,若 ca , cb
// ,则实数 m 的值是_______,实数 n 的值是 .
3.已知 1,1a , 2, 3b ,若 2ka b 与 a
垂直,则实数 k .
4.若 )2,(a , )5,3(b 且 a 与b 的夹角是钝角,则 的取值范围是( )
A. ),3
10( B. ),3
10[ C. )3
10,( D. )3
10,[
5.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-
2
1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= .
平面向量数量积
2
平面向量的数量积第一课时
学习目标
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2.理解平面向量的数量积与向量投影的关系,体会类比的数学思想和方法。
一、复习回顾:
两个非零向量夹角的概念:
已知非零向量 a 与b ,作OA = a ,OB =b ,则___________叫 a 与b 的夹角.
说明:(1)当θ=0 时, a 与b 方向_______;(2)当θ=π 时, a 与b 方向_______;
(3)当θ=
2
时, a 与b 垂直,记 a ⊥b ;
(4)注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是________.范围是 0≤≤180
二.学习探究
阅读课本 103 页完成下列任务
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与b ,它们的夹角是θ,
a 与b 的数量积 a b = ________________.(其中 0≤θ≤π).
并规定: 0 向量与任何向量的数量积为___.
2.阅读课本 104 页例 1,完成 106 页练习 1,2 108 页习题 A 组 2,6
探究:(1)向量数量积是一个向量还是一个数量? 它的符号什么时候为正? 什么时候为负?
(2)两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
(3)在实数中,若 a0,且 ab=0,则 b=0;
但是在数量积中,若 a 0 ,且 a b =0,能不能推出b = 0 ?
(4)已知实数 a、b、c(b0),则 ab=bc a=c
但是在数量积中. a b =b c 能不能推出 a =c ?
(5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但是( a b )c a (b c )
显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线.
3.“投影”的概念:作图
定义:__________叫做向量 b 在 a 方向上的投影.向量 a 在b 方向上的投影为_________投影是一个数量,不是向
量;
当为锐角时投影为___值; 当为钝角时投影为___值; 当为直角时投影为 0;
练习.(1)已知向量 ba, 满足 2b , a 1, a 与b 的夹角为 060 ,则 b 在 a 上的投影是: _______
(2)已知 a 3, 4b , 12ba 则向量 a 在向量b 方向上的投影为_______________
4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a b 等于________________________________
5.两个向量的数量积的性质:设 a 、b 为两个非零向量,
(1) a b a b = ____________ ; (2) a b = _________,cos= ____________(求夹角)
(3)当 a 与b 同向时,θ= _____,cos= ____, a b =____________ =______ ;
特别的 a 与 a 方向_____,θ= _____,cos= ___, a a =____ ____, 所以 a ______ (求模)
当 a 与b 反向时,θ= _____,cos= ____, a b =____________ =______ ;
(4)| a b |=__________≦_______
6.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a b = ______(2)数乘结合律:( a )b =_______= _______(3)分配律:( a +b )c =_______+_______
7.认真阅读课本 105 页例 2,例 3,完成课本 108 页习题 A 组 1,3,7,8
8.认真阅读课本 105 页例 4,完成下列各题
(1)|a|=3,|b|=4,向量 a+
4
3 b 与 a-
4
3 b 的位置关系为( )
A.平行 B.垂直 C.夹角为
3
D.不平行也不垂直
(2)已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是___________
(3)已知| a |=4,|b |=3,(2 a -3b )·(2 a +b )=61,求 a 与b 的夹角θ.
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