九江一中 2016 -2017 学年上学期期末考试 高二数学(理科)试卷 13页

九江一中 2016 -2017 学年上学期期末考试 高二数学(理科)试卷 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，答题时间 120 分钟。答 题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2. 第 I 卷（选择题）答案必须使用 2B 铅笔填涂；第 II 卷（非选择题）必须将答案卸载答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1、如果 0a b  ，那么下列不等式成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2ab b C． 2ab a   D． 1 1 a b    2、  na等差数列 中， ，， 116 497  aaa 12a则 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 3、已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   的离心率等于 5 2 ，且点 15, 2      在双曲线C 上，则双曲线C 的方程 为（ ） A. 2 2 116 4 y x  B. 2 2 14 xy   C. 2 2 14 y x  D. 2 2 14 x y  4、已知命题 1:sin 2p x  ，命题 : 2 6q x k k Z   ， ，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、若实数 ,x y 满足| 3 | 1x y   ，则 2x yz x y   的最小值为（ ） A. 5 3 B.2 C. 3 5 D. 1 2 6、已知数列 na 为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A． 231 2aaa  B．若 13 aa  ，则 24 aa  C．若 31 aa  ，则 21 aa  D． 2 2 2 3 2 1 2aaa  7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果 在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一 天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按 30 天计算）总共织布390 尺， 问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A． 29 8 尺 B． 29 16 尺 C． 29 32 尺 D． 2 1 尺 8、若双曲线 2 2 14 x y  的渐近线与圆 2 2 2( 5)x y r   （ 0r  ）相切，则 r  （A）5 （B） 5 （C）2 （D） 2 9、设正数 ,x y 满足： , 2 3x y x y   ，则 1 9 5x y x y   的最小值为（ ） A． 8 3 B．11 4 C．4 D．2 10、若椭圆   22 2 2 1 0yx a b a b     和圆 2 2 2 2 bx y c      ，( c 为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点， 则椭圆的离心率 e 的取值范围是( ) A. 5 3 5 5       ， B. 2 5 5 5       ， C. 2 3 5 5       ， D. 50 5       ， 11、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|= 4 2 ， |DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 12、如图， 1 2 A A， 为椭圆 2 2 19 5 x y  的长轴的左、右端点， O 为坐标原点， S Q T， ， 为椭圆上不 同于 1 2 A A， 的三点，直线 1 2 QA QA OS， ， ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则 2 2OS OT （ ） A．5 B． 3 5 C.9 D．14 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13、在△ABC 中，若  120,5,3 Cba ,则 c 14、在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 C Sr 2 ．在空间中，三棱锥的 体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切） 的半径 R=___________________ 15、已知 ABC 中，sin 2sin cos 0A B C  ，则 tan A 的最大值是 16、设数列 na 是首项为 0 的递增数列，       * 1 1sin , , ,n n n nf x x a x a a n Nn     ，满足：对 于任意的    0,1 , nb f x b  总有两个不同的根，则 na 的通项公式为_________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分 10 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 cos (2 )cosa C b c A  （1）求 Acos 的值； （2）若 6a ， 8 cb ，求三角形 ABC 的面积. （18）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 1 2n n a a   ， 1 0a  . （1）计算 2a ， 3a ， 4a ， 5a 的值； （2）根据以上计算结果猜想 na 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. （19）（本小题满分 12 分） 数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ， ta 1 ， 1 2 1( )n na S n     N . （Ⅰ）当 t 为何值时，数列 }{ na 是等比数列; （Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列 }{ nb 的前 n 项和 nT 有最大值，且 153 T ，又 11 ba  ， 22 ba  ， 33 ba  成等比数列，求 nT . 20、（本小题满分 12 分） 由 4 个直角边为 2 的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF ，沿 AD 折起，使平面 ADEF  平面 ACD . （1）求证： FB AD ； （2）求二面角C EF D  的正切值. 21、（本小题满分 12 分） 已知点 F 是拋物线  2: 2 0C y px p  的焦点, 若点  0 ,1M x 在C 上,且 05 4 xMF  ． （1）求 p 的值； （2）若直线l 经过点  3, 1Q  且与C 交于 ,A B （异于 M ）两点, 证明: 直线 A M 与直线 BM 的斜 率之积为常数． 22、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，其离心率为 2 2 ，椭圆 C 的一个焦点和抛物线 yx 42  的焦点重合． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点      03 1S ， 的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点，试问：在平面上是否存在一个定点 T ， 使得无论l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，说出点 T 的坐标，若不存在，说明理 由． 九江一中 2016 ----2017 学年上学期期末考试 高二数学试卷 命题人：高二备课组 注意事项： 4. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，答题时间 120 分钟。答 题前 ，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 5. 第 I 卷（选择题）答案必须使用 2B 铅笔填涂；第 II 卷（非选择题）必须将答案卸载答题卡上， 写在本试卷上无效。 6. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1、如果 0a b  ，那么下列不等式成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2ab b C． 2ab a   D． 1 1 a b    【答案】D 2、  na等差数列 中， ，， 116 497  aaa 12a则 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 【答案】A 3、已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   的离心率等于 5 2 ，且点 15, 2      在双曲线C 上，则双曲线 C 的方程 为（ ） A. 2 2 116 4 y x  B. 2 2 14 xy   C. 2 2 14 y x  D. 2 2 14 x y  【答案】D 4、已知命题 1: sin 2p x  ，命题 : 2 6q x k k Z   ， ，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 5、若实数 ,x y 满足| 3 | 1x y   ，则 2x yz x y   的最小值为（ ） A. 5 3 B.2 C. 3 5 D. 1 2 【答案】A 6、已知数列 na 为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A． 231 2aaa  B．若 13 aa  ，则 24 aa  C．若 31 aa  ，则 21 aa  D． 2 2 2 3 2 1 2aaa  【答案】D 7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果 在三百多年后的印 度才首次出现。书中 有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一 天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 5 尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 390 尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A． 29 8 尺 B． 29 16 尺 C． 29 32 尺 D． 2 1 尺 【答案】B 8、若双曲线 2 2 14 x y  的渐近线与圆 2 2 2( 5)x y r   （ 0r  ）相切，则r （A）5 （B） 5 （C）2 （D） 2 【答案】B 9、设正数 ,x y 满足： , 2 3x y x y   ，则 1 9 5x y x y   的最小值为（ ） A． 8 3 B．11 4 C．4 D．2 【答案】A 10、若椭圆   22 2 2 1 0yx a b a b     和圆 2 2 2 2 bx y c      ，( c 为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点， 则椭圆的离心率 e的取值范围是( ) A. 5 3 5 5       ， B. 2 5 5 5       ， C. 2 3 5 5       ， D. 50 5       ， 【答案】A 11、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB |= 4 2 ， |DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D ）8 【答案】B 12、如图， 1 2 A A， 为椭圆 2 2 19 5 x y  的长轴的左、右端点， O 为坐标原点， S Q T， ， 为椭圆上不同 于 1 2 A A， 的三点，直线 1 2 Q A Q A O S， ， ， O T 围成一个平行四边形 O PQ R ，则 2 2OS OT  （ ） A．5 B． 3 5 C.9 D．14 【答案】D 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13、在△ABC 中，若  120,5,3 Cba ,则 c 【答案】7 14、在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 C Sr 2 ．在空间中，三棱锥的 体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切） 的半径 R=___________________ 【答案】 3V S 15、已知 ABC 中， sin 2 sin cos 0A B C  ，则 tan A 的最大值是 【答案】 3 3 16、设数列 na 是首项为 0 的递增数列，       * 1 1sin , , ,n n n nf x x a x a a n Nn     ，满足：对 于任意的    0,1 , nb f x b  总有两个不同的根，则 na 的通项公式为_________ 【答案】  1 2n n na  三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分 10 分） 在 A B C 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 cos (2 ) cosa C b c A  （1）求 Acos 的值； （2）若 6a ， 8 cb ，求三角形 ABC 的面积. 解析：（1）由已知及正弦定理可得 ABACCA cossin2cossincossin  ……………2 分 由两角和的正弦公式得 ABCA cossin2)sin(  ………………4 分 由三角形的内角和可得 ABB cossin2sin  ……………… 5 分 因为 0sin B ，所以 2 1cos A …………………6 分 (2) 由余弦定理得：   bcbccbbccb 36432 1236 222  ， 3 28bc ，………………9 分 由（1）知 2 3sin A ………………………10 分 所以 3 37 2 3 3 28 2 1 ABCS .…………12 分 （18）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 1 2n n a a   ， 1 0a  . （1）计算 2a ， 3a ， 4a ， 5a 的值； （2）根据以上计算结果猜想 na 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解析：解：（1）由 1 1 2n n a a   和 1 0a  ，得 2 1 1 2 0 2a   ， 3 1 2 1 32 2 a    ， 4 1 3 2 42 3 a    ， 5 1 4 3 52 4 a    . （4 分） （2）由以上结果猜测： 1 n na n  （6 分） 用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当 1n  时 ，左边 1 0a  ，右边 1 1 01   ，等式成立. （8 分） （Ⅱ）假设当 ( 1)n k k  时,命题成立，即 1 k ka k  成立. 那么，当 1n k  时， 1 1 1 ( 1) 1 12 1 12 k k k ka ka k k k         这就是说，当 1n k  时等式成立. 由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测 1 n na n  对于任意正整数 n 都成立.（12 分） （19）（本小题满分 12 分） 数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ， ta 1 ， 1 2 1 ( )n na S n      N . （Ⅰ）当 t 为何值时，数列 }{ na 是等比数列; （Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列 }{ nb 的前 n 项和 nT 有最大值，且 153 T ，又 11 ba  ， 22 ba  ， 33 ba  成等比数列，求 nT . 解析：（I）由 121  nn Sa ，可得 12 1( 2)n na S n   ， 两式相减得 )2(3,2 11   naaaaa nnnnn 即 ， ∴当 2n 时， }{ na 是等比数列， 要使 1n 时， }{ na 是等比数列，则只需 312 1 2  t t a a ，从而 1t . （II）设 }{ nb 的公差为 d，由 153 T 得 15321  bbb ，于是 52 b ， 故可设 dbdb  5,5 31 ，又 9,3,1 321  aaa ， 由题意可得 2)35()95)(15(  dd ， 解得： 10,2 21  dd ， ∵等差数列 }{ nb 的前 n 项和 nT 有最大值，∴ 10,0  dd ∴ 2520)10(2 )1(15 nnnnnTn  . 20、（本小题满分 12 分） 由 4 个直角边为 2 的等腰直角三角形拼成如图的平 面凹五边形 A C D E F ，沿 A D 折起，使平面 A D E F  平面 ACD . （1）求证： F B A D ； （2）求二面角 C E F D  的正切值. 解析： 法一：（1）作 F O A D 于O ，连结 O B . ∵等腰 Rt AFD ，∴点O 为 A D 的中点. 而等腰 Rt ABD ,∴ B O A D ，而 0F O B O  ， ∴ AD  平面 FO B ，∴ F B A D . （2）∵等腰 Rt ABD 和等腰 Rt CBD ， ∴ 090ADC  ，∴C D A D . 又∵平面 A D E F  平面 ACD ，平面 A D E F  平面 A C D A D ， ∴CD  平面 A D E F ，作 D M F E ，连结 M C ， 即 D M C 为二面角 C E F D  的平面角. 在 Rt M D C 中， 090MDC  ， 1M D  ， 2D C  ， ∴ tan 2D M C  ，∴二面角 C E F D  的正切值为 2. 法二：（1）作 F O A D 于O ，连结 O B ，∵平面 A D E F  平面 ACD ，∴ FO  平面 ACD . ∵等腰 Rt AFO ，∴点O 为 A D 的中点，而等腰 Rt ABD ， ∴ B O A D . 如图，建立空间直角坐标系， ∴ (0, 0,1)F ， (1, 0, 0)A ， ( 1, 0, 0)D  ， ( 1, 2, 0)C  ， (0,1, 0)B ， ( 2, 0,1)E  ， ( 2,0,0)AD   ， (0,1, 1)FB   ，∵ 0AD FB   ，∴ F B A D . （2）显然平面 D E F 的法向量 1 (0,1,0)n  ， 平面 C E F 中， ( 2,0,0)FE   ， ( 1, 2, 1)FC    ， ∴平面 C E F 的法向量 2 (0,1,2)n  ， ∴ 1 2 5cos , 5n n  ，∴ 1 2tan , 2n n  ， ∴二面角 C E F D  的正切值为 2. 21、（本小题满分 12 分） 已 知点 F 是拋物线  2: 2 0C y px p  的焦点, 若点  0 ,1M x 在C 上,且 05 4 xMF  ． （1）求 p 的值； （2）若直线l 经过点  3, 1Q  且与C 交于 ,A B （异于 M ）两点, 证明: 直线 A M 与直线 BM 的斜 率之积为常数． 解析：（1）由抛物线定义知 0 2 pMF x  ,则 0 0 5 2 4 px x  ,解得 0 2x p ,又点  0 ,1M x 在C 上, 代 入 2: 2C y px ,得 02 1px  ,解得 0 11, 2x p  ． （ 2 ） 由 （ 1 ） 得   21,1 , :M C y x , 当 直 线 l 经 过 点  3, 1Q  且 垂 直 于 x 轴 时 , 此 时    3, 3 , 3, 3A B  , 则 直 线 A M 的 斜 率 3 1 2AMk  , 直 线 BM 的 斜 率 3 1 2BMk   , 所 以 3 1 3 1 1 2 2 2AM BMk k       ．当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 则 直 线 A M 的 斜 率 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1AM y yk x y y       , 同 理 直 线 BM 的 斜 率 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1,1 1 1 1BM AM BMk k ky y y y y y y           ,设直线 l 的斜率为  0k k  ,且经过  3, 1Q  , 则 直 线 l 的 方 程 为  1 3y k x   ． 联 立 方 程   2 1 3y k x y x      , 消 x 得, 2 3 1 0ky y k    , 所以 1 2 1 2 1 3 1 1, 3ky y y yk k k        ,故 1 2 1 2 1 1 1 1 11 23 1 AM BMk k y y y y k k            , 综上, 直线 A M 与直线 BM 的斜率之积为 1 2  ． 22、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，其离心率为 2 2 ，椭圆C 的一个焦点和抛物线 yx 42  的焦点重合． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点      03 1S ， 的动直线l 交椭圆 C 于A 、B 两点，试问：在平面上是否存在一个定点 T ，使得 无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，说出点 T 的坐标，若不存在，说明理由． 解析：（1）抛物线焦点的坐标为  1,0 ，则椭圆 C 的焦点在 y 轴上. 设椭圆方程为  012 2 2 2  ba b x a y 由题意可得 1c ， 2a ， 122  cab ， ∴ 椭圆方程为 1 2 2 2  xy ……3 分 （2）若直线 l 与 x 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 122  yx ， 若直线 l 垂直于 x 轴，则以 AB 为直径的圆是 9 16 3 1 2 2       yx 由                0 1 9 16 3 1 1 2 2 22 y x yx yx 即两圆相切于点 )0,1( ……5 分因此所求的点T 如果存在， 只能是 )0,1( ，事实上，点 )0,1(T 就是所求的点. ……6 分 证明：当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 )0,1(T ，若直线 l 不垂直于 x 轴， 可设直线 l ：       3 1xky 设点  11,A yx ，  22,B yx 由              12 3 1 2 2 yx xky   029 1 3 22 2222  kxkxk ， ∴               2 29 1 2 3 2 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx ……9 分 又  ),1( 11 yxTA  , ),1( 22 yxTB  , ∴ 2121 )1()1( yyxxTBTA  )3 1)(3 1()1)(1( 21 2 21  xxkxx )9 11))(13 1()1( 2 21 2 21 2 kxxkxxk  （ )9 11(2 3 2 )13 1(2 29 1 )1 2 2 2 2 2 2 2 kk k kk k k     （ 0 ……11 分 ∴ TBTA  即： TBTA  , 故以 AB 为直径的圆恒过点 )0,1(T . 综上可知：在坐标平面上存在一个定点 )0,1(T 满足条件. ……12 分