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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.一头病猪服用某药品后被治愈的概率是 90%,则服用这种药的 5 头病猪
中恰有 3 头猪被治愈的概率为( )
A.0.93 B.1-(1-0.9)3
C.C35×0.93×0.12 D.C35×0.13×0.92
【解析】 由独立重复试验恰好发生 k 次的概率公式知,该事件的概率为
C35×0.93×(1-0.9)2.
【答案】 C
2.假设流星穿过大气层落在地面上的概率为1
4
,现有流星数量为 5 的流星群
穿过大气层有 2 个落在地面上的概率为( )
A. 1
16 B.135
512
C. 45
512 D. 27
1 024
【解析】 此问题相当于一个试验独立重复 5 次,有 2 次发生的概率,所以
P=C25·
1
4 2·
3
4 3=135
512.
【答案】 B
3.在 4 次独立重复试验中事件出现的概率相同.若事件 A 至少发生 1 次的
概率为65
81
,则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( )
A.1
3 B.2
5
C.5
6 D.3
4
【解析】 设所求概率为 p,则 1-(1-p)4=65
81
,得 p=1
3.
【答案】 A
4.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;
移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是1
2
,质点 P 移动五次
后位于点(2,3)的概率是( ) 【导学号:97270045】
A.
1
2 5 B.C25×
1
2 5
C.C35×
1
2 3 D.C25×C35×
1
2 5
【解析】
如图,由题可知,质点 P 必须向右移动 2 次,向上移动 3 次才能位于点(2,3),
问题相当于 5 次独立重复试验向右恰好发生 2 次的概率.所以概率为
P=C25×
1
2 2×
1
2 3=C25
1
2 5.故选 B.
【答案】 B
5.若随机变量ξ~B 5,1
3 ,则 P(ξ=k)最大时,k 的值为( )
A.1 或 2 B.2 或 3
C.3 或 4 D.5
【解析】 依题意 P(ξ=k)=Ck5×
1
3 k×
2
3 5-k,k=0,1,2,3,4,5.
可以求得 P(ξ=0)= 32
243
,P(ξ=1)= 80
243
,P(ξ=2)= 80
243
,P(ξ=3)= 40
243
,P(ξ
=4)= 10
243
,P(ξ=5)= 1
243.故当 k=2 或 1 时,P(ξ=k)最大.
【答案】 A
二、填空题
6.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为 0.001,如果公路上每天有 1
000 辆汽车通过,则公路上发生车祸的概率为________;恰好发生一起车祸的概
率为________.(已知 0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06,精确到 0.000 1)
【解析】 设发生车祸的车辆数为 X,则 X~B(1 000,0.001).
(1)记事件 A:“公路上发生车祸”,则 P(A)=1-P(X=0)=1-0.9991 000≈1
-0.367 70=0.632 3.
(2)恰好发生一次车祸的概率为
P(X=1)=C11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1.
【答案】 0.632 3 0.368 1
7.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4,现从{an}的前 10 项中随机取数,
每次取出一个数,取后放回,连续抽取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这
三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______.(用数字作
答)
【解析】 由已知可求通项公式为 an=10-2n(n=1,2,3,…),其中 a1,a2,
a3,a4 为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10 为负数,∴从中取一个数为正数的概
率为 4
10
=2
5
,取得负数的概率为1
2.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为 C23×
2
5 2×
1
2 1= 6
25.
【答案】 6
25
8.下列说法正确的是________.(填序号)
①某同学投篮的命中率为 0.6,他 10 次投篮中命中的次数 X 是一个随机变
量,且 X~B(10,0.6);
②某福彩的中奖概率为 p,某人一次买了 8 张,中奖张数 X 是一个随机变量,
且 X~B(8,p);
③从装有 5 个红球、5 个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,
则摸球次数 X 是随机变量,且 X~B n,1
2 .
【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件,而③虽然是有放回地摸球,
但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,
最后一次是白球,不符合二项分布的定义.
【答案】 ①②
三、解答题
9.(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医,
方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区
医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在地区有
A,B,C 三家社区医院,并且他们的选择相互独立.设 4 名参加保险人员选择 A
社区医院的人数为 X,求 X 的分布列.
【解】 由已知每位参加保险人员选择 A 社区的概率为1
3
,4 名人员选择 A
社区即 4 次独立重复试验,
即 X~B 4,1
3 ,所以 P(X=k)=Ck4·
1
3 k·
2
3 4-k(k=0,1,2,3,4),所以 X 的分布列
为
X 0 1 2 3 4
P 16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中,
规定先赢三局的队获胜,并且比赛就此结束,现已知甲、乙两队每比赛一局,甲
队获胜的概率为3
5
,乙队获胜的概率为2
5
,且每局比赛的胜负是相互独立的.
(1)求甲队以 3∶2 获胜的概率;
(2)求乙队获胜的概率.
【解】 (1)设甲队以 3∶2 获胜的概率为 P1,则 P1=C24
3
5 2·
2
5 2·3
5
= 648
3 125.
(2)设乙队获胜的概率为 P2,则 P2=
2
5 3+C23
2
5 2·3
5·2
5
+C24
2
5 2·
3
5 2·2
5
= 992
3 125.
[能力提升]
1.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局
者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率
是( )
A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648
【解析】 甲获胜有两种情况,一是甲以 2∶0 获胜,此时 p1=0.62=0.36;
二是甲以 2∶1 获胜,此时 p2=C12×0.6×0.4×0.6=0.288,故甲获胜的概率 p=
p1+p2=0.648.
【答案】 D
2.(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子 n 次,设出现 k 次点数
为 1 的概率为 Pn(k),若 n=20,则当 Pn(k)取最大值时,k 为( )
A.3 B.4 C.8 D.10
【解析】 掷一枚质地均匀的骰子 20 次,其中出现点数为 1 的次数为 X,X~
B 20,1
6 ,Pn(k)=Ck20·
5
6 20-k·
1
6 k.
Pnk
Pnk-1
=1
5
21
k
-1 .
当 1≤k≤3 时,1
5
21
k
-1 >1,Pn(k)>Pn(k-1).当 k≥4 时,1
5
21
k
-1 <1,Pn(k)
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