人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业十三2-3-1含解析 10页

课后提升作业 十三 直线与平面垂直的判定 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.m，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种 说法： ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β. 其中正确说法的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 B.①正确，因为 n∥β，α∥β， 所以在α内有与 n 平行的直线，又 m⊥α，则 m⊥n； ②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β， 因为 m⊥n，则可能 n⊂β； ③错误，因为 m⊥n，α∥β，m∥α，则可能 n⊂β且 m⊂β； ④正确，m⊥α，α∥β，得 m⊥β，因为 m∥n，则 n⊥β. 2.如图所示，如果 MC⊥菱形 ABCD 所在的平面，那么 MA 与 BD 的位置关 系是 ( ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 【解析】选 C.因为 ABCD 为菱形，所以 DB⊥AC， 又 MC⊥平面 ABCD，所以 MC⊥BD. 又 AC∩MC=C，所以 BD⊥平面 ACM. 又 AM⊂平面 AMC，所以 BD⊥AM，又 BD 与 AM 不共面，所以 MA 与 BD 垂直 但不相交. 【延伸探究】本题若将条件 “菱形 ABCD”改为“平行四边形 ABCD”， 加上条件“MA⊥BD”，判断平行四边形 ABCD 的形状. 【解析】因为 MC⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 所以 MC⊥BD，又 BD⊥MA， MA∩MC=M， 所以 BD⊥平面 MAC，又 AC⊂平面 MAC， 所以 BD⊥AC，故平行四边形 ABCD 为菱形. 3.(2016·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中， ∠BAC=90°，且 BC1⊥AC，过点 C1 作 C1H⊥底面 ABC，垂足为点 H，则点 H 在 ( ) A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 C.直线 BC 上 D.△ABC 内部 【解析】选 B.作 C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且 BC1⊥AC，所以 AC⊥平 面 ABC1，所以 AC⊥C1H，因为 AB∩AC=A，所以 C1H⊥平面 ABC，即点 H 在 底面的垂足在 AB 边上. 4.如图所示，定点 A 和 B 都在平面α内，定点 P∉α，PB⊥α，C 是平面 α内异于 A 和 B 的动点，且 PC⊥AC，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【解析】选 B.因为 PB⊥α，AC⊂α，所以 PB⊥AC， 又 AC⊥PC，PB∩PC=P， 所以 AC⊥平面 PBC，又 BC⊂平面 PBC， 所以 AC⊥BC.故△ABC 为直角三角形. 5.已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 AA1⊥平面 ABCD，且底面 ABCD 为正 方形，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.如图，设 AB=a， 则 AA1=2a，三棱锥 C-BDC1 的高为 h，CD 与平面 BDC1 所成的角 为α. 因为 = ， 即×× a× ah =×a2×2a， 解得 h=a. 所以 sinα= =. 6.如图，在三棱锥 V-ABC 中，VO⊥平面 ABC，O∈CD， VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是 ( ) A.AC=BC B.VC⊥VD C.AB⊥VC D.S△VCD·AB=S△ABC·VO 【解析】选 B.因为 VA=VB，AD=BD， 所以 VD⊥AB.因为 VO⊥平面 ABC， AB⊂平面 ABC，所以 VO⊥AB. 又 VO∩VD=V，VO⊂平面 VCD，VD⊂平面 VCD， 所以 AB⊥平面 VCD， 又 CD⊂平面 VCD，VC⊂平面 VCD， 所以 AB⊥VC，AB⊥CD. 又 AD=BD，所以 AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为 VO⊥平面 ABC， 所以 VV-ABC=S△ABC·VO. 因为 AB⊥平面 VCD， 所以 VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD =S△VCD·BD+S△VCD·AD =S△VCD·(BD+AD) =S△VCD·AB， 所以 S△ABC·VO=S△VCD·AB， 即 S△VCD·AB=S△ABC·VO.综上知，A，C，D 正确. 7.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论 中不正确的是 ( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 D.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 【解析】选 C.因为 SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，所以连接 BD， 则 BD⊥AC，又 AC⊥SD，可得 AC⊥SB，故 A 正确；因为 AB∥CD，AB⊄平 面 SCD，CD⊂平面 SCD，所以 AB∥平面 SCD，故 B 正确；因为 AB∥CD， 所以∠SCD 为 AB 与 SC 所成角，∠SAB 为 SA 与 DC 所成角，显然∠SCD≠ ∠SAB，故 C 不正确.由 AC⊥平面 SBD，记 AC 与 BD 交于 O，连接 SO，则 ∠ASO 为 SA 与平面 SBD 所成角，∠CSO 为 SC 与平面 SBD 所成角，显然 ∠ASO=∠CSO. 8.(2016·温州高二检测)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底 面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正 确的是 ( ) A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE 与 B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 【解析】选 C.A 选项，ABC-A1B1C1 是三棱柱，则 CE∥B1C1，所以，CEB1C1 是一个平面，CC1 与 B1E 共面；B 选项，因为 AC 与 AB 的夹角是 60°，所 以 AC 和平面 ABB1A1 不垂直；C 选项，E 是 BC 的中点，则 AE⊥BC，又因 为 BB1⊥平面 ABC，所以 AE⊥BB1，又 BC∩BB1=B，所以 AE⊥平面 BCC1B1， 所以 AE⊥B1C1；D 选项，A1C1∥AC，AC 和平面 AB1E 相交，所以 A1C1 与平 面 AB1E 不平行. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC=CC1，当底面 A1B1C1 满足条件________时， 有 AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能 的情况) 【解析】如图所示，连接 B1C，由 BC=CC1，可得 BC1⊥B1C， 因此，要证 AB1⊥BC1，则只要证明 BC1⊥平面 AB1C，即只要 证 AC⊥BC1 即可，由直三棱柱可知，只要证 AC⊥BC 即可.因 为 A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证 A1C1⊥B1C1 即可.(或者能推 出 A1C1⊥B1C1 的条件，如∠A1C1B1=90°等) 答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一) 10.(2016·青岛高一检测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，面对角线 A1B 与对 角面 BB1D1D 所成的角为________. 【解析】连接 A1C1 交 B1D1 于点 O，连接 BO， 因为 A1C1⊥B1D1， A1C1⊥BB1， 故 A1C1⊥平面 BB1D1D，所以 A1B 在平面 BB1D1D 内射影为 OB， 所以∠A1BO 即为 A1B 与平面 BB1D1D 所成角. 设正方体棱长为 a，则 A1B= a， A1O=A1C1= a， 所以 sin∠A1BO= = =， 所以∠A1BO=30°. 答案：30° 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.(2016·山东高考)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB. (1)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB. (2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. 【解析】(1)连接 ED,因为 AB=BC,AE=EC,D 为 AC 中点, 所以 AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又 EF∥DB,所以 E,F,B,D 四点共面,所以 AC⊥平面 EFBD, 所以 AC⊥FB. (2)取 FC 中点 I,连接 GI,HI,则有 GI∥EF,HI∥BC, 又 EF∥DB,所以 GI∥BD, 又 GI∩HI=I,BD∩BC=B, 所以,平面 GHI∥平面 ABC, 因为 GH⊂平面 GHI, 所以 GH∥平面 ABC. 12. (2014·湖北高考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M， N 分别是棱 AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1 的中点.求证： (1)直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)直线 AC1⊥平面 PQMN. 【解题指南】(1)通过证明 FP∥AD1，得到 BC1∥FP，根据线面平行的判 定定理即可得证. (2)证明 BD⊥平面 ACC1，得出 BD⊥AC1，进而得 MN⊥AC1，同理可证 PN⊥ AC1，根据线面垂直的判定定理即可得出直线 AC1⊥平面 PQMN. 【证明】(1)连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点，所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ， 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C，所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1⊂平面 ACC1，所以 BD⊥AC1. 因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点， 所以 MN∥BD，从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N，所以直线 AC1⊥平面 PQMN. 【能力挑战题】 如图，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面 ABD. (2)若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积. 【解题指南】(1)利用线面垂直的判定定理证明. (2)分别求出△ABM 的面积和高 CD，继而求出体积. 【解析】(1)因为 AB⊥平面 BCD， CD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥CD. 又因为 CD⊥BD，AB∩BD=B， AB⊂平面 ABD，BD⊂平面 ABD， 所以 CD⊥平面 ABD. (2)由 AB⊥平面 BCD，得 AB⊥BD， 因为 AB=BD=1，所以 S△ABD=. 因为 M 是 AD 的中点， 所以 S△ABM=S△ABD=. 由(1)知，CD⊥平面 ABD， 所以三棱锥 C-ABM 的高 h=CD=1， 因此三棱锥 A-MBC 的体积 VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h= .