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- 2021-06-16 发布
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章末检测
一、选择题
1.i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则 ( )
A.i∈S B.i2∈S
C.i3∈S D.2
i
∈S
2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.i 是虚数单位,复数3+i
1-i
等于 ( )
A.1+2i B.2+4i
C.-1-2i D.2-i
4.已知 a 是实数,a-i
1+i
是纯虚数,则 a 等于 ( )
A.1 B.-1 C. 2 D.- 2
5.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi 等于 ( )
A.-2+i B.2+i C.1-2i D.1+2i
6.在复平面内,O 是原点,OA→ ,OC→ ,AB→对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么BC→对应
的复数为 ( )
A.4+7i B.1+3i
C.4-4i D.-1+6i
7.(1+i)20-(1-i)20 的值是 ( )
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.1 024i
8.i 是虚数单位,若1+7i
2-i
=a+bi(a,b∈R),则 ab 的值是 ( )
A.-15 B.3 C.-3 D.15
9.若 z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x,y∈R)互为共轭复数,则 z1 对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知 f(n)=in-i-n(n∈N*),则集合{f(n)}的元素个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.无数个
二、填空题
11.复平面内,若 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围
是________.
12.给出下面四个命题:
①0 比-i 大;②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;③x+yi=1+i 的充要条
件为 x=y=1;④如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应.其中真命
题的个数是________.
13.已知 01+i;
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;
④若一个数是实数,则其虚部不存在;
⑤若 z=1
i
,则 z3+1 对应的点在复平面内的第一象限.
三、解答题
15.设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当 m 为何值时:
(1)z 是实数?(2)z 是纯虚数?
16.已知复数 z1=1-i,z1·z2+ z 1=2+2i,求复数 z2.
17.计算:(1) 2+2i4
1- 3i5
;
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
18.实数 m 为何值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i 对应的点在:
(1)x 轴上方;
(2)直线 x+y+5=0 上.
19.已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2.
(1)求复数 z;
(2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积.
20.设 z1 是虚数,z2=z1+1
z1
是实数,且-1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围;
(2)若ω=1-z1
1+z1
,求证:ω为纯虚数.
答案
1.B 2.A 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C
10.B [f(n)有三个值 0,2i,-2i.]
11.(3,4)
12.0
13.(1, 5)
14.⑤
15.解 (1)要使复数 z 为实数,需满足 m2-2m-2>0
m2+3m+2=0
,解得 m=-2 或-1.即当 m=-2
或-1 时,z 是实数.
(2)要使复数 z 为纯虚数,需满足 m2-2m-2=1
m2+3m+2≠0
,解得 m=3.
即当 m=3 时,z 是纯虚数.
16.解 因为 z1=1-i,所以 z 1=1+i,
所以 z1·z2=2+2i- z 1=2+2i-(1+i)
=1+i.
设 z2=a+bi(a,b∈R),
由 z1·z2=1+i,得(1-i)(a+bi)=1+i,
所以(a+b)+(b-a)i=1+i,
所以 a+b=1
b-a=1
,
解得 a=0,b=1,所以 z2=i.
17.解 (1)原式= 161+i4
1- 3i41- 3i
= 162i2
-2-2 3i21- 3i
= -64
41+ 3i21- 3i
= -16
1+ 3i×4
= -4
1+ 3i
=-1+ 3i.
(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.
18.解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方,
则 m2-2m-15>0,
解得 m<-3 或 m>5.
(2)复数 z 对应的点为(m2+5m+6,m2-2m-15),
∵z 对应的点在直线 x+y+5=0 上,
∴(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,
整理得 2m2+3m-4=0,解得 m=-3± 41
4
.
19.解 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2=2 且 2ab=2,解
得 a=b=1 或 a=b=-1,
所以 z=1+i 或 z=-1-i.
(2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以 S△ABC=1.
当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC=1.
20.(1)解 设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=z1+1
z1
=a+bi+ 1
a+bi
=(a+ a
a2+b2)+(b
- b
a2+b2)i.
因为 z2 是实数,b≠0,于是有 a2+b2=1,即|z1|=1,还可得 z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-1
2
≤a≤1
2
,即 z1 的实部的取值范围是[-1
2
,1
2].
(2)证明 ω=1-z1
1+z1
=1-a-bi
1+a+bi
=1-a2-b2-2bi
1+a2+b2
=- b
a+1
i.
因为 a∈[-1
2
,1
2],b≠0,
所以ω为纯虚数.
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