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- 2021-06-16 发布
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2.3 数学归纳法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0 等于( )
A.1 B.2
C.3 D.0
解析:边数最少的凸n边形是三角形.
答案:C
2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1)(n∈N*)时,从“n=k到n=k+1”左边需增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
解析:当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,
左边=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(2k+2)
=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)(2k+1)×2,
故需增乘的代数式为2(2k+1).
答案:B
3.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
解析:增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.
答案:C
4.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
A.56·34k+1+25(34k+1+52k+1)
B.34·34k+1+52·52k
C.34k+1+52k+1
D.25(34k+1+52k+1)
解析:34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1
=56×34k+1+25(34k+1+52k+1).
7
答案:A
5.已知f(n)=++++…+,则( )
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++
C.f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++
D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++
解析:由条件可知,f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2项,且n=2时,
f(2)=+++.故选C.
答案:C
6.凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________.
解析:将k+1边形A1A2…AkAk+1的顶点A1与Ak相连,则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk+1,其内角和f(k+1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk+1的内角和π的和,即f(k+1)=f(k)+π.
答案:π
7.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳猜想得出an的表达式为________.
解析:∵a1=2,an+1=,
∴a2==,a3==,a4==,
于是猜想an=.
答案:an=(n∈N*)
8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).
(1)计算a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
解析:(1)a1=1,a2==,
a3==,a4==.
7
(2)由(1)的计算猜想:an=.
下面用数学归纳法进行证明:
①当n=1时,a1=1,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即ak=,
那么,ak+1===,
即当n=k+1时等式也成立.
由①②可知,对任意n∈N*都有an=.
9.用数学归纳法证明: +++…+<1-(n≥2,n∈N*).
证明:(1)当n=2时,左边==,
右边=1-=.
因为<,所以不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,
即+++…+<1-,
则当n=k+1时,
+++…++<1-+
=1-
=1-<1-
=1-.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.
[B组 能力提升]
1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )
A.30 B.26
C.9 D.6
7
解析:因为f(1)=36=4×9,f(2)=108=12×9,f(3)=360=40×9,所以f(1),f(2),f(3)都被9整除,推测最大的m值为9.
答案:C
2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)n2=1,
当n=2时,22+2=6>n2=4,
当n=3时,23+2=10>n2=9,
当n=4时,24+2=18>n2=16,
由此可以猜想,
2n+2>n2(n∈N*)成立.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,
左边=21+2=4,右边=1,
所以左边>右边,
所以原不等式成立.
当n=2时,左边=22+2=6,
右边=22=4,所以左边>右边;
当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,
所以左边>右边.
不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥3,且k∈N*)时,不等式成立,
即2k+2>k2,那么当n=k+1时,
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.
又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3
=(k-3)(k+1)≥0,
即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.
原不等式成立.
根据(1)和(2)知,原不等式对于任何n∈N*都成立.
6.已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.
解析:(1)由已知得
因为{an}的公差大于0,所以a5>a2,
7
所以a2=3,a5=9.
所以d===2,a1=1,即an=2n-1.
因为Tn=1-bn,所以b1=.
当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,
所以bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),
化简得bn=bn-1.
所以{bn}是首项为,公比为的等比数列,
即bn=·()n-1=.
所以an=2n-1,bn=.
(2)因为Sn=×n=n2,
所以Sn+1=(n+1)2,=.
下面比较与Sn+1的大小:
当n=1时,=,S2=4,所以S5,
猜想:n≥4时,>Sn+1.
下面用数学归纳法证明:
①当n=4时,已证.
②假设当n=k(k∈N*,k≥4)时>Sk+1,
即>(k+1)2,
那么,==3·>3(k+1)2=3k2+6k+3
7
=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2
=S(k+1)+1,
所以当n=k+1时,>Sn+1也成立.
由①②可知,对任何n∈N*,n≥4,>Sn+1都成立.
综上所述,当n=1,2,3时,Sn+1.
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