2020高中数学 第二章 平面向量 第一讲 向量的概念及表示学案 苏教版必修1 4页

向量的概念及表示 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 向量的概念及表示 ‎1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念；‎ ‎2. 理解零向量、单位向量、相等向量、共线（平行）向量、相反向量的含义；‎ ‎3. 理解向量的几何表示 选择 填空 高考必考 向量是代数和几何的知识交汇点，在选择填空题中向量的几何应用要引起足够的重视 二、重难点提示 重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。‎ 难点：向量的概念和共线向量的概念。‎ 一、向量及相关概念 ‎（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。‎ 注意：向量与数量的区别 向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。‎ ‎（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。‎ ‎（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。‎ ‎（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。‎ ‎（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。‎ ‎（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定零向量与任一向量平行。‎ ‎【要点诠释】‎ 两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。‎ 二、向量的表示 ‎（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如用表示。‎ ‎（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（）与书写体a 不一样。‎ 4‎ ‎（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。‎ ‎【易错点】‎ 注意：‎ ‎1. 零向量的手写体为，书写体用黑体字0表示。‎ ‎2. 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。‎ ‎3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。‎ 示例：四边形ABCD满足＝且＝，则四边形ABCD的形状是________。‎ 思路分析：根据相等向量的定义可得。‎ 答案：由四边形ABCD满足＝可知，四边形ABCD为平行四边形，又＝，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形。‎ ‎【重要提示】‎ 本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。‎ 例题1 （向量的有关概念）判断下列各说法是否正确：‎ ‎（1）单位向量一定相等；‎ ‎（2）若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎（3）若＝，则点A与点C重合，点B与点D重合；‎ ‎（4）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎（5）若向量a＝b，则a∥b；‎ ‎（6）若a∥b，b∥c，则a∥c。‎ 思路分析：从概念的理解出发，结合具体实例进行判断。‎ 答案：（1）不正确。向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等。‎ ‎（2）正确。∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。‎ ‎（3）不正确。这是因为＝时，应有＝及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合。‎ ‎（4）不正确。“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的。‎ ‎（5）正确。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。‎ ‎（6）不正确。对于非零向量命题正确，但当b＝0时，满足a∥b，b∥c，但a与c不一定共线。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数（即模的大小），又要考虑其形（即方向性）。‎ ‎2. 涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量。‎ ‎3. ‎ 4‎ 对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可。‎ 例题2 （向量的表示） 一辆汽车从A点出发向西行驶了‎100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了‎200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了‎100千米到达点D。‎ ‎（1）作出向量，，；‎ ‎（2）求 思路分析：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解。‎ 答案：‎ ‎（1）如图，‎ ‎（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD，‎ 又∵＝，‎ ‎∴在四边形ABCD中，AB与CD平行且相等，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴＝＝200（千米）。‎ 技巧点拨：‎ 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度（模），选择合适的比例关系作出向量。‎ ‎ ‎ 向量在几何证明中的应用 ‎【例证】如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝。求证：CN与MA平行且相等。‎ 思路分析：要证CN∥MA且CN＝MA，只需证四边形AMCN是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过＝得证。‎ 答案：由条件＝可知AB＝DC且AB∥DC，从而四边形ABCD为平行四边形，从而＝，‎ 又M，N分别是BC，AD的中点，于是＝，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CN＝MA且CN∥MA，即CN与MA平行且相等。‎ 4‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 若＝，且四点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则＝。‎ ‎2. 利用向量相等或共线证明平行、相等问题：‎ ‎（1）证明线段相等，只需证明相应向量的长度（模）相等；‎ ‎（2）证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线。‎ 4‎