2020高中数学 第一章正弦定理(2) 8页

第2课时　正弦定理(2)‎ 学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．正弦定理及其变形 ‎(1)定理内容：‎ ＝＝＝2R(R为外接圆半径)．‎ ‎(2)正弦定理的常见变形：‎ ‎①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；‎ ‎②＝＝＝＝2R；‎ ‎③a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；‎ ‎④sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ 思考：在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?‎ 提示：可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.‎ ‎2．对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ‎①a＝bsin A；‎ ‎②a≥b 一解 bsin Aa，所以B>A，故B＝60°或120°.‎ ‎(3)当bsin A20sin 60°＝10，‎ ‎∴absin A，‎ ‎∴bsin A，A＋C>，B＋C>；A＋B>⇔A>－B⇔sin A>cos B，cos A0.‎ 所以cos C＝－.C＝.‎ ‎(2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝.‎ 由正弦定理，＝，‎ 即＝，解得b＝2.‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×sin ＝.‎ 母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin ‎2C”换为“若a＋c＝2b,2cos 2B－8cos B＋5＝‎0”‎求角B的大小并判断△ABC的形状．‎ ‎[解]　∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，‎ ‎∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0.‎ ‎∴4cos2B－8cos B＋3＝0，‎ 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.‎ 解得cos B＝或cos B＝(舍去)．‎ ‎∵03＝b，所以△ABC的个数为1.]‎ ‎2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　) ‎ ‎【导学号：91432020】‎ A．3 B．3 C．6 D．6 B　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B.]‎ ‎3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.‎ ‎1　[由＝得sin C＝＝×＝，‎ 又0