2020高中数学第三章指数函数和对数函数3 5页

‎3.3.1‎‎-3.3.2指数函数的概念 一、选择题 ‎1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是(　　)‎ A．0　　 B．1‎ C．2　　 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x＋1，不是x，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.‎ ‎2．函数y＝2－x的图像是下图中的(　　)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵y＝2－x＝()x，‎ ‎∴函数y＝()x是减函数，且过点(0,1)，故选B.‎ ‎3．函数y＝的定义域是(　　)‎ A．[0，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，0]‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意，得1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0，‎ ‎∴函数y＝的定义域为(－∞，0]．‎ ‎4．已知函数f(x)＝2x－1＋1，则f(x)的图像恒过定点(　　)‎ A．(1,0) B．(0,1)‎ C．(1,2) D．(1,1)‎ ‎[答案]　C 5‎ ‎[解析]　代入选项易知C正确．‎ ‎5．经过点(－，)的指数函数的解析式为(　　)‎ A．y＝()x B．y＝()x C．y＝()x D．y＝()x ‎[答案]　A ‎[解析]　将点(－，)代入指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中，则a－＝，即()＝()3，所以＝，即a＝.‎ ‎6．(2014·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝(　　)‎ A．[0,2] B．(1,3)‎ C．[1,3) D．(1,4)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查指数函数集合的运算．‎ ‎|x－1|<2，∴－21)恒过点(1,10)，则m＝________.‎ ‎[答案]　9‎ ‎[解析]　∵函数f(x)＝a x2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，‎ ‎∴10＝a0＋m，∴m＝9.‎ ‎8．(2015·江苏高考)不等式2 x2－x＜4的解集为________．‎ ‎[答案]　(－1,2)‎ ‎[解析]　由题意得：x2－x<2⇒－11)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性．‎ ‎[解析]　(1)只需x＋1≠0时，f(x)都有意义，故f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－1}．‎ ‎(2)设x1，x2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x10，x2＋1>0.‎ 又a>1，∴a x10时　‎2a＝－2不成立．‎ 当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.‎ ‎2．函数y＝2x＋1的图像是图中的(　　)‎ ‎[答案]　B 5‎ ‎[解析]　x＝0时，y＝2；且y＝2x＋1的图像是y＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．‎ 二、填空题 ‎3．若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝________.‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.‎ ‎4．已知函数f(x)＝则满足f(x)>1的x的取值范围是________．‎ ‎[答案]　{x|x>1或x<－1}‎ ‎[解析]　由已知f(x)>1可化为或，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．‎ 三、解答题 ‎5．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数的值域．‎ ‎[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．‎ 即＋a＝－[＋a]，‎ ‎∴‎2a＝－－＝1，‎ ‎∴a＝.‎ ‎∵2x－1≠0，∴x≠0.‎ ‎∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，‎ ‎∴<－1或>0，‎ ‎∴y<－或y>.‎ ‎∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎6．画出函数y＝|2x－1|的图像，并利用图像回答： 为何值时，方程|2x－1|＝ 无解？有一解？有两解？‎ ‎[解析]　函数y＝|2x－1|的图像是由函数y＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，图像如图所示．当 <0时，直线y＝ 与函数y＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；‎ 5‎ 当 ＝0或 ≥1时，直线y＝ 与函数y＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；‎ 当0< <1时，直线y＝ 与函数y＝|2x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．‎ ‎7．设f(x)＝，若0