高考数学专题复习教案： 矩阵与变换备考策略 4页

矩阵与变换备考策略 主标题：矩阵与变换备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　矩阵与变换 ‎【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．‎ 解　设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则 ＝，‎ 所以 因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以 ‎(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即 所以 ‎【备考策略】 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．‎ ‎【训练1】 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.‎ 解　设T＝，则T：→＝ ＝＝，解得 T：→＝ ＝＝，‎ 解得综上可知T＝.‎ 考点二　二阶逆矩阵与二元一次方程组 ‎【例2】 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′‎ ‎(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．‎ 解　依题意得由M＝，得|M|＝1，‎ 故M－1＝.‎ 从而由＝得＝＝＝，故∴A(2，－3)为所求．‎ ‎【备考策略】 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．‎ ‎【训练2】 已知矩阵A＝，‎ ‎ (1)求矩阵A的逆矩阵；‎ ‎ (2)利用逆矩阵知识解方程组 解　(1)法一　设逆矩阵为A－1＝，‎ 则由＝，得 解得A－1＝.‎ 法二　由公式知若A＝＝，‎ ‎(2)已知方程组 可转化为 即AX＝B，其中A＝，X＝，B＝，且由(1)，‎ 得A－1＝.‎ 因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有 A－1AX＝A－1B＝＝.‎ 即原方程组的解为 考点三　求矩阵的特征值与特征向量 ‎【例3】 已知a∈R，矩阵A＝对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．‎ 解　由题意 ＝＝，‎ 得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，‎ 令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.‎ ‎①对于特征值λ1＝－1，‎ 解相应的线性方程组得一个非零解 因此，α＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；‎ ‎②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组 得一个非零解 因此，β＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．‎ ‎【备考策略】 已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤为：‎ ‎(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；‎ ‎(2)列方程组 ‎(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．‎ ‎【训练3】已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．‎ 解　由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝‎ ‎(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．‎ 设矩阵M的特征向量为，‎ 当λ1＝2时，由M＝2，‎ 可得 可令x＝1，得y＝1，‎ ‎∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．‎ 当λ2＝4时，由M＝4，‎ 可得 取x＝1，得y＝－1，‎ ‎∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．‎