高考数学专题复习练习第五章 第一节 数例的概念与简单表示法 课下练兵场 5页

第五章 第一节 数例的概念与简单表示法 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 观察法求数列 的通项公式 ‎2‎ ‎8‎ 求数列的通项公式 ‎1、6‎ ‎7、9、10‎ ‎11‎ 数列的性质 ‎3‎ ‎4、5‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1.在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2， ∈N*)，则的值是 (　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，‎ ‎∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，‎ ‎∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，‎ ‎∴‎3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 答案：C ‎2.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 (　　)‎ A.an＝n2－n＋1 B.an＝ C.an＝ D.an＝ 解析：从图中可观察星星的构成规律，‎ n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；‎ n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…‎ ‎∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ 答案：C ‎3.若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a17＝ (　　)‎ A.1 B‎.2 C. D.2－987‎ 解析：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.‎ 答案：C ‎4.在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab等于 (　　)‎ A.1 B.－‎1 C.2 D.－2‎ 解析：法一：n＝1时，a1＝，‎ ‎∴＝a＋b， ①‎ 当n＝2时，a2＝，∴＋＝‎4a＋2b， ②‎ 由①②得，a＝2，b＝－，∴ab＝－1.‎ 法二：a1＝，Sn＝＝2n2－n，‎ 又Sn＝an2＋bn，∴a＝2，b＝－，‎ ‎∴ab＝－1.‎ 答案：B ‎5.对于任意函数f(x)，x∈D，可构造一个数列发生器，其工作原理如下：‎ ‎①输入数据x0∈D，经过数列发生器后输出x1＝f(x0)；‎ ‎②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去.‎ 现定义f(x)＝2x＋1，D＝(0,1000)，若输入x0＝1，这样，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为 (　　)‎ A.8 B‎.9 C.10 D.11‎ 解析：依题意得，x1＝f(x0)＝f(1)＝3，当n≥2时，若xn－1∈D，则输出xn＝f(xn－1)‎ ‎＝2xn－1＋1.‎ 由此得到输出数据分别为：3,7,15,31,63,127,255,511,1 023.‎ 故当发生器结束工作时，输出数据的总个数为9.‎ 答案：B ‎6.已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a、b为常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是 (　　)‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 解析：设an＋2＝bn＋1，‎ ‎∴(a－b)n＋1＝0，‎ ‎∵a＞b，n＞0，‎ ‎∴(a－b)n＋1＝0不成立.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7.数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝　　　　.‎ 解析：由已知，an＋1－an＝2n，故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1).‎ 答案：n(n－1)‎ ‎8.数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是　　　　.‎ 解析：从上面的规律可以看出 解上式得 答案：(，－)‎ ‎9.已知数列{an}中，a1＝1，nan＝a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，则a2010＝　　　　.‎ 解析：∵nan＝a1＋‎2a2＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，‎ ‎∴(n－1)an－1＝a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－2)an－2(n≥3).‎ 减，‎ 得nan－(n－1)an－1＝(n－1)an－1(n≥3)，‎ 即nan＝2(n－1)an－1，∴＝2×(n≥3).‎ 又易知a2＝，故a2010＝a1××××…×＝22009×××…×＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10.已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*).求数列{an}的通项公式an.‎ 解：法一：(累加法)‎ ‎∵an＋1＝an＋2n－1，‎ ‎∴an－an－1＝2(n－1)－1，‎ an－1－an－2＝2(n－2)－1，‎ ‎…‎ a3－a2＝2×2－1，‎ a2－a1＝2×1－1.‎ 以上各式左右两边分别相加得 an－a1＝2 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)‎ ‎＝n(n－1)－(n－1)＝(n－1)2.‎ ‎∴an＝(n－1)2.‎ 法二：(迭代法)‎ ‎∵an＋1＝an＋2n－1，‎ ‎∴an＝an－an－1＋an－1‎ ‎＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋an－2‎ ‎＝…‎ ‎＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2(n－1)－1＋2(n－2)－1＋…＋2×2－1＋2×1－1＋0‎ ‎＝(n－1)2.‎ ‎11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且 n≥2)，求该数列的通项公式.‎ 解：由S1＝1得a1＝1，又由S2＝2可知a2＝1.‎ ‎∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，‎ 即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)，‎ ‎∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列.‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝‎ ‎12.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.‎ ‎(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？‎ ‎(2)n为何值时，an＝0，an＞0，an＜0？‎ ‎(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由.‎ 解：(1)由an＝n2－n－30，得 a1＝1－1－30＝－30，‎ a2＝22－2－30＝－28，‎ a3＝32－3－30＝－24.‎ 设an＝60，则60＝n2－n－30.解之得n＝10或n＝－9(舍去).‎ ‎∴60是此数列的第10项.‎ ‎(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去).‎ ‎∴a6＝0.‎ 令n2－n－30＞0，解得n＞6或n＜－5(舍去).‎ ‎∴当n＞6(n∈N*)时，an＞0.‎ 令n2－n－30＜0，解得－5＜n＜6.‎ 又n∈N*，∴0＜n＜6.‎ ‎∴当0＜n＜6(n∈N*)时，an＜0.‎ ‎(3)由an＝n2－n－30＝(n－)2－30，n∈N*，‎ 知{an}是递增数列，‎ 且a1＜a2＜…＜a5＜a6＝0＜a7＜a8＜a9＜…，‎ 故Sn存在最小值S5＝S6，Sn不存在最大值.‎