高考数学专题复习练习第六章 不等式推理与证明 质量检测 12页

第六章 不等式、推理与证明 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．不等式(x＋1)≥0的解集是书 (　　)‎ A．{x|x＞1}　　　　　　　　B．{x|x≥1}‎ C．{x|x≥1或x＝－1} D．{x|x≥－1或x＝1}‎ 解析：∵≥0，∴x≥1.‎ 同时x＋1≥0，即x≥－1.∴x≥1.‎ 答案：B ‎2．下列命题中的真命题是 (　　)‎ A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2‎ 解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a2＞b2.‎ 答案：D ‎3．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是 (　　)‎ A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)‎ C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ 解析：将原不等式转化为：，从而得x≥1或x≤－1.‎ 答案：D ‎4．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|＜0}，则A∩B是 (　　)‎ A．{x|－1＜x＜－或2＜x＜3}‎ B．{x|2＜x＜3}‎ C．{x|－＜x＜2}‎ D．{x|－1＜x＜－}‎ 解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.‎ 又∵＜0，∴(2x＋1)(x－3)＞0，‎ ‎∴x＞3或x＜－.∴A∩B＝{x|－1＜x＜－}．‎ 答案：D ‎5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，‎ d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．‎ 其中类比得到的结论正确的个数是 (　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，‎ 虽然满足a－b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．‎ 答案：C ‎6．已知实数a，b，则“ab≥‎2”‎是“a2＋b2≥‎4”‎的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当ab≥2时，a2＋b2≥2ab≥4，故充分性成立，而a2＋b2≥4时，当a＝－1，b ‎＝3时成立，但ab＝－3＜2，显然ab≥2不成立，故必要性不成立．‎ 答案：A ‎7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 由 得交点A的坐标为(1,1)．‎ 又B、C两点的坐标为(0,4)，(0，)．‎ 故S△ABC＝(4－)×1＝.‎ 答案：C ‎8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站‎10 km处建仓库，这两项 费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在 离车站 (　　)‎ A．‎5 km处 B．‎4 km处 C．‎3 km处 D．‎2 km处 解析：由题意可设y1＝，y2＝k2x，‎ ‎∴k1＝xy1，k2＝，‎ 把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，‎ ‎∴y1＝，y2＝0.8x(x为仓库与车站距离)，‎ 费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 ＝8，‎ 当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．‎ 答案：A 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab＞0的解集是{x|x＜－1或x＞4}，则实数a、b的值 分别为________．‎ 解析：由不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}可得，－1,4是方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0‎ 的两根，‎ ‎∴，解得a＝－4，b＝1.‎ 答案：－4,1‎ ‎10．关于x的不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a恒成立，那么实数a的取值范围是________．‎ 解析：不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a 可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0，‎ 当a＋2＝0，即a＝－2时，不恒成立，不合题意．‎ 当a＋2≠0时，要使不等式恒成立，‎ 需解得a≥2.‎ 所以a的取值范围为[2，＋∞)．‎ 答案：[2，＋∞)‎ ‎11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c＜1，则实数a的取值 范围是________．‎ 解析：由题意：得b＝－1，∴a＋c＝2.‎ 又0＜c＜1，∴0＜2－a＜1，∴1＜a＜2.‎ 答案：(1,2)‎ ‎12．(2010·邵阳模拟)若f(a)＝(‎3m－1)a＋b－‎2m，当m∈[0,1]时f(a)≤1恒成立，则a＋b 的最大值为________．‎ 解析：设g(m)＝f(a)＝(‎3a－2)m＋b－a，由于当m∈[0,1]时g(m)‎ ‎＝f(a) ＝(‎3a－2)m＋b－a≤1恒成立，‎ 于是，即，满足此不等式组的点(a，b)构成 图中的阴影部分，其中A(，)，设a＋b＝t，显然直线a＋b＝t过点A时，t取得最 大值.‎ 答案： ‎13．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5‎ 件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知 设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生 产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．‎ 解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，‎ 则 目标函数为z＝200x＋300y.‎ 作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．‎ 答案：2300‎ ‎14．已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x－3y＋1＝0的两侧，则下列说法正确的序号是 ‎________．‎ ‎①‎2a－3b＋1＞0；‎ ‎②a≠0时，有最小值，无最大值；‎ ‎③∃M∈R＋，使＞M恒成立；‎ ‎④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为 ‎(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ 解析：由已知(‎2a－3b＋1)(2－0＋1)＜0，‎ 即‎2a－3b＋1＜0，∴①错；‎ 当a＞0时，由3b ＞‎2a＋1，‎ 可得＞＋，‎ ‎∴不存在最小值，∴②错；‎ 表示为(a，b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得：‎ ＞＝恒成立，‎ ‎∴③正确；‎ 表示为(a，b)和(1,0)两点的斜率．‎ 由线性规划知识可知④正确．‎ 答案：③④‎ ‎15．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，‎ 则＋＋＋‎ 等于________．‎ 解析：由f(p＋q)＝f(p)f(q)，‎ 令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．‎ 原式＝＋＋＋ ‎＝‎2f(1)＋＋＋ ‎＝‎8f(1)＝24.‎ 答案：24‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)＞0；‎ ‎(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．‎ 解：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋‎6a＋b－3，‎ ‎∵f(1)＞0，∴a2－‎6a＋3－b＜0.‎ Δ＝24＋4b，当Δ≤0‎ 即b≤－6时，f(1)＞0的解集为∅；‎ 当b＞－6时，3－＜a＜3＋，‎ ‎∴f(1)＞0的解集为{a|3－＜a＜3＋}．‎ ‎(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b＞0的解集为(－1,3)，‎ ‎∴解之，得 ‎17．(本小题满分12分)若a1＞0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)‎ ‎(1)求证：an＋1≠an；‎ ‎(2)令a1＝，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.‎ 解：(1)证明：(采用反证法)．若an＋1＝an，‎ 即＝an，解得an＝0,1.‎ 从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0,1，与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，‎ 故an＋1≠an成立．‎ ‎(2)a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，an＝，‎ n∈N*.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2010·长沙模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海 莘庄镇进入该高速公路后以不低于‎60千米/时且不高于‎120千米/时的速度匀速行驶 到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：‎ 可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．‎ ‎(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？‎ 解：(1)依题意得：y＝(200＋0.02v2)× ‎＝166(0.02v＋)(60≤v≤120)．‎ ‎(2)y＝166(0.02v＋)≥166×2 ‎＝664(元)‎ 当且仅当0.02v＝即v＝‎100千米/时时取等号．‎ 答：当速度为‎100千米/时时，最小的运输成本为664元．‎ ‎19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2＋4(a为非零实数)，设函数F(x)＝‎ .‎ ‎(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；‎ ‎(2)设mn＜0，m＋n＞0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?‎ 解：(1)由f(－2)＝0,‎4a＋4＝0⇒a＝－1，‎ ‎∴F(x)＝.‎ ‎(2)∵，∴m，n一正一负．‎ 不妨设m＞0且n＜0，则m＞－n＞0，‎ F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋4－(an2＋4)‎ ‎＝a(m2－n2)，‎ 当a＞0时，F(m)＋F(n)能大于0，‎ 当a＜0时，F(m)＋F(n)不能大于0.‎ ‎20．(本小题满分13分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国 印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A、B两种 贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生 产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每 套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、‎ B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才 能使该厂月利润最大？最大利润为多少？‎ 解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，‎ 由题意得 目标函数为z＝700x＋1200y.‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：‎ 目标函数可变形为y＝－x＋，‎ ‎∵－＜－＜－，‎ ‎∴当y＝x＋通过图中的点A时，最大，z最大．解得 点A坐标为(20,24)．‎ 将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y 得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．‎ 答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利 润为42800元．‎ ‎21．[理](本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.‎ ‎(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；‎ ‎(2)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′()－n2＋1，‎ 已知a1＝4，求证：an≥2n＋2.‎ 解：(1)因为f(1)＝a－b＝0，所以a＝b，‎ 所以f(x)＝ax－－2lnx，‎ 所以f′(x)＝a＋－.‎ 要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，‎ 则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.‎ 当a＝0时，则f′(x)＝－＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．‎ 当a＞0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，则a－≥0，解得a≥1；‎ 当a＜0时，由f′(x)＝a＋－＜0恒成立，适合题意．‎ 所以a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2)根据题意得：f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，得a＝1，‎ 所以f′(x)＝(－1)2，‎ 于是an＋1＝f′()－n2＋1＝(an－n)2－n2＋1‎ ‎＝a－2nan＋1.‎ 用数学归纳法证明如下：‎ 当n＝1时，a1＝4＝2×1＋2，‎ 当n＝2时，a2＝9＞2×2＋2；‎ 假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式ak＞2k＋2成立，即ak－2k＞2成立，‎ 则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－2k)＋1＞(2k＋2)×2＋1＝4k＋5＞2(k＋1)＋2，‎ 所以当n＝k＋1，不等式也成立，‎ 综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n＋2.‎ ‎[文](本小题满分13分)已知不等式x2＋px＋1＞2x＋p.‎ ‎(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的范围；‎ ‎(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的范围．‎ 解：(1)原不等式为 ‎(x－1)p＋(x－1)2＞0，‎ 令f(p)＝(x－1)p＋(x－1)2，它是关于p的一次函数，‎ 定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知 ，‎ 解得x＜－1或x＞3.‎ 即x的取值范围是{x|x＜－1或x＞3}．‎ ‎(2)不等式可化为(x－1)p＞－x2＋2x－1，‎ ‎∵2≤x≤4，∴x－1＞0.‎ ‎∴p＞＝1－x.‎ 对x∈[2,4]恒成立，‎ 所以p＞(1－x)max.‎ 当2≤x≤4时，(1－x)max＝－1，‎ 于是p＞－1.故p的范围是{p|p＞－1}．‎