高考数学专题复习：课时达标检测(五十八) 离散型随机变量的分布列、均值与方差 6页

课时达标检测(五十八) 离散型随机变量的分布列、均值与方差 一、全员必做题 ‎1．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．‎ 解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝＝；‎ P(X＝3)＝＝；‎ P(X＝4)＝＝；‎ P(X＝5)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎2．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)．‎ 解：(1)由已知得，P(A)＝＝.‎ 所以事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4× ‎＝＋＋＋＝＝.‎ ‎3．国庆节期间，某旅行社组织了14人参加“国家旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：‎ 答对题目个数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ 根据上表信息解答以下问题：‎ ‎(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；‎ ‎(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列及E(X)．‎ 解：(1)记“3人答对题目个数之和为‎6”‎为事件A，‎ 事件A包含“3人分别答对2题”，“3人分别答对1,2,3题”和“3人分别答对0,3,3题”．‎ 则P(A)＝＝＝，‎ 即3人答对题目个数之和为6的概率为.‎ ‎(2)依题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.‎ 则P(X＝0)＝＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝＝，‎ P(X＝3)＝＝＝，‎ P(X＝4)＝＝＝，‎ P(X＝5)＝＝＝，‎ P(X＝6)＝＝＝.‎ 从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝＝＝.‎ ‎1．抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体，记上底面上的数字分别为x，y.若[a]表示a的整数部分，如：[2.6]＝2，设ξ为随机变量，且ξ＝.‎ ‎(1)求P(ξ＝0)；‎ ‎(2)求ξ的分布列，并求其均值E(ξ)．‎ 解：(1)依题意，实数对(x，y)共有36种情况，使ξ＝＝0的实数对(x，y)有以下15种情况：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，‎ 所以P(ξ＝0)＝＝.‎ ‎(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ ξ＝1的情况有以下18种：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，‎ 所以P(ξ＝1)＝＝.‎ ξ＝2的情况有以下3种：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎2．某商场中的20件不同的商品中有是进口商品，其余的是国产商品．在进口商品中有是高端商品，在国产商品中有是高端商品．‎ ‎(1)从该批商品中随机抽取3件，求恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；‎ ‎(2)若销售1件国产高端商品获利80元，1件国产非高端商品获利50元，当销售该批国产商品3件时，获利为ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)．‎ 解：(1)设事件B为“从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”．‎ 因为这20件商品中，进口高端商品有20××＝5(件)，国产高端商品有20××＝3(件)．‎ 所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝，‎ 即从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是.‎ ‎(2)由于本批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，故销售该批国产商品3件时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.‎ P(ξ＝180)＝＝，P(ξ＝210)＝＝＝，‎ P(ξ＝240)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎180‎ ‎210‎ ‎240‎ P 故E(ξ)＝180×＋210×＋240×＝204.‎ 三、冲刺满分题 ‎1．袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．‎ ‎(1)求随机变量X的分布列和均值E(X)；‎ ‎(2)求甲摸到白色球的概率．‎ 解析：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，所以＝，‎ 即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．‎ ‎(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.‎ P (X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.‎ 随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.‎ ‎(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：‎ A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；‎ A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；‎ A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．‎ 依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，‎ 所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎2．某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：‎ 统计 信息 汽车行 驶路线　　‎ 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)‎ 在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)‎ 堵车的概率 运费(万元)‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.6‎ 公路2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0.8‎ ‎(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和均值E(ξ)；‎ ‎(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？‎ ‎(注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费)‎ 解：(1)若汽车走公路1，‎ 不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(万元)；‎ 堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(万元)，‎ ‎∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为 ξ ‎18.4‎ ‎17.4‎ P E(ξ)＝18.4×＋17.4×＝18.3(万元)．‎ ‎(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(万元)；‎ 堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(万元)．‎ ‎∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为 η ‎20.2‎ ‎17.2‎ P E(η)＝20.2×＋17.2×＝18.7(万元)．‎ ‎∵E(ξ)