高考数学专题复习练习第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 5页

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词 一、选择题 ‎1. 已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则非p为(　　)‎ A．任意n∈N,2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000‎ C．存在n∈N,2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000‎ 解析 特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．‎ 答案 A ‎2． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是(　　)．‎ A．0＜a≤1 B．a＜1‎ C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0‎ 解析　(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.‎ 答案　C ‎3．下列命题中的真命题是 (　　)．‎ A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x 解析　因为sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sin x0，解得b<0或b>.‎ 答案　(－∞，0)∪ ‎9．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>‎0”‎是真命题，则实数a的取值集合是________．‎ 解析 “∀x∈R，(a－2)x＋1>‎0”‎是真命题，等价于(a－2)x＋1>0的解集为R，所以a－2＝0，所以a＝2.‎ 答案 {2}‎ ‎10．已知命题p：“∃x∈R且x>0，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“____________”；q的真假为________．(选填“真”或“假”)‎ 答案 ∀x∈R＋，x≤　假 ‎11．命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围为________．‎ 解析 题目中的命题为假命题，‎ 则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥‎0”‎为真命题，‎ 也就是常见的“恒成立”问题，‎ 只需Δ＝‎9a2－4×2×9≤0，[来源:中_教_网z_z_s_tep]‎ 即可解得－2≤a≤2.‎ 答案 [－2，2]‎ ‎12．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵对任意x∈R，p(x)是真命题．‎ ‎∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，‎ 当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，‎ 当a≠0时，若不等式恒成立，‎ 则∴a＞1.‎ 答案　a＞1‎ ‎13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是 ‎________．‎ 解析　当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.‎ 答案　[－8,0]‎ 三、解答题 ‎14. 写出下列命题的否定，并判断真假.‎ ‎(1)q: x∈R，x不是5x-12=0的根;‎ ‎(2)r:有些素数是奇数;‎ ‎(3)s: x0∈R，|x0|＞0.‎ 解 (1)q: x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.‎ ‎(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.‎ ‎(3)s:x∈R，|x|≤0，假命题.‎ ‎15．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．‎ 解　由命题p为真知，0，‎ 若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ 则p、q中必有一真一假，‎ 当p真q假时，c的取值范围是0