2019-2020学年高中数学课时作业14离散型随机变量的分布列北师大版选修2-3 7页

课时作业(十四)‎ ‎1．下列各表中可作为随机变量X的分布列的是(　　)‎ A.‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ B.‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.5‎ ‎0.8‎ ‎－0.3‎ C.‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ D.‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎0‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ 答案　D 解析　由pi≥0知B错误，又i＝1，验证知D正确．‎ ‎2．若随机变量X的分布列为下表，则a的值为(　　)‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P a A.1　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　由分布列性质，有＋＋＋a＝1，得a＝.‎ ‎3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)等于(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 7‎ X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 由p＋2p＝1，得p＝，∴2p＝.‎ ‎4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P(<ξ<)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由<ξ<知ξ＝1，2.‎ P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，∴P(<ξ<)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.‎ ‎5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　D 解析　由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得(＋＋)a＝1，∴a＝.‎ ‎6．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　)‎ X＝i ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(X＝i)‎ a b A. B. C. D. 答案　C 解析　由分布列的性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(仅当a＝b＝时等号成立)．‎ ‎7．(2015·广州高二检测)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于(　　)‎ 7‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，可知＋＋＝1，解得c＝.故P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－＝1－×＝.‎ ‎8．随机变量η的分布列如下：‎ η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎0.2‎ x ‎0.35‎ ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ 则①x＝________；②P(η>3)＝________；‎ ‎③P(1<η≤4)＝________．‎ 答案　①0　②0.45　③0.45‎ ‎9．设随机变量ξ的可能取值为5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________．‎ 答案　　 ‎10．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案　　　 ‎11．随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 则ξ为奇数的概率为________．‎ 答案　 解析　P(ξ为奇数)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝＝.‎ ‎12．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，取后不放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．‎ 解析　X的取值为1，2，3，4，5，‎ 7‎ 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，‎ P(X＝5)＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎13.已知随机变量ξ只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围．‎ 解析　设ξ的分布列为 ξ x1‎ x2‎ x3‎ P a－d a a＋d 由离散型随机变量分布列的基本性质知：‎ 解得－≤d≤.‎ ‎14．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为.‎ ‎(1)求白球的个数；‎ ‎(2)从袋中任意取出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．‎ 解析　(1)设白球的个数为m，由题意得1－＝，得m2－19m＋70＝0得m＝5或m＝14(舍)．‎ ‎(2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.‎ ξ＝0即取出的白球的个数为0，P(ξ＝0)＝＝.‎ ξ＝1即取出的白球的个数为1，P(ξ＝1)＝＝.‎ ξ＝2即取出的白球的个数为2，P(ξ＝2)＝＝.‎ ξ＝3即取出的白球的个数为3，P(ξ＝3)＝＝.‎ 则随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 7‎ P ‎15.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．‎ 解析　以ξ表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ是一个随机变量，由题设ξ可能取的数值是0，1，2，3.‎ 当ξ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为P(ξ＝0)＝＝；‎ 当ξ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为P(ξ＝1)＝·＝；‎ 当ξ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为P(ξ＝2)＝· ·＝；‎ 当ξ＝3时，即第一、二、三次都取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为P(ξ＝3)＝···＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎►重点班选做题 ‎16．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C ‎17．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若Y表示经销一件该商品的利润，求Y的分布列．‎ 解析　依题意，Y的可能取值为200，250，300.则 7‎ P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，‎ P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，‎ P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.‎ 所以随机变量Y的分布列为 Y ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎1．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.8，若命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．‎ 解析　X的取值为1，2，3，4，5.‎ 当X＝1时，即第一枪就中了，故P(X＝1)＝0.8；当X＝2时，即第一枪未中，第二枪中了，故P(X＝2)＝0.2×0.8＝0.16；同理，P(X＝3)＝0.22×0.8＝0.032；P(X＝4)＝0.23×0.8＝0.006 4；P(X＝5)＝0.24＝0.001 6.‎ 则耗用子弹ξ的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.8‎ ‎0.16‎ ‎0.032‎ ‎0.006 4‎ ‎0.001 6‎ ‎2.数字1，2，3，4任意排成一排，若数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数ξ的分布列．‎ 解析　ξ取值为0，1，2，3，4.ξ＝0，没有巧合，若1—2—3—4为四个数都巧合，则没有一个巧合的情况有以下几种：‎ ‎21—4—33—4—14—1—3　　31—4—24—1—24—2—1　　41—2—33—1—23—2—1‎ 所以P(ξ＝0)＝＝＝；ξ＝1，只有一个巧合，P(ξ＝1)＝＝；‎ ξ＝2，只有两个巧合，P(ξ＝2)＝＝；ξ＝3，只有三个巧合，不存在，P(ξ＝3)＝0；‎ ξ＝4，四个数位置都巧合， P(ξ＝4)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0‎ ‎3.将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为ξ，求ξ的分布列．‎ 7‎ 解析　明确题意，搞清杯子中球的最多个数的可能值，再由此求出相应的概率．‎ 依题意可知，杯子中球的最多个数ξ的所有可能值为1，2，3.当ξ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形，当ξ＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．‎ ‎∴当ξ＝1时，P(ξ)＝＝；‎ 当ξ＝2时，P(ξ)＝＝；‎ 当ξ＝3时，P(ξ)＝＝.‎ 可得ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎4.2013年6月，某地有A、B、C、D四人先后感染了H7N9禽流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．‎ 解析　随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 7‎