高考数学专题复习练习：考点规范练55 7页

考点规范练55　几何概型 ‎　考点规范练A册第44页　 ‎ 基础巩固 ‎1.若在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-2x2≥4的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ 答案D 解析因为2x-2x2≥4,所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2,所以所求概率为‎2-(-1)‎‎4-(-1)‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎2.‎ 若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ A.π‎2‎ B.π‎4‎ C.π‎6‎ D.‎π‎8‎ 答案B 解析所求概率为S半圆S长方形‎=‎1‎‎2‎π·‎‎1‎‎2‎‎2×1‎=‎π‎4‎,故选B.‎ ‎3.(2016辽宁丹东高三二模)北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达到熟能生巧之境.若铜钱是半径为1 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)‎ A.‎1‎π B.‎1‎‎4π C.‎1‎‎2‎ D.‎1‎‎4‎〚导学号74920352〛‎ 答案B 解析由题意可得半径为1 cm的圆的面积为π×12=π(cm2),‎ 而边长为0.5 cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25(cm2),‎ 故所求概率为‎0.25‎π‎=‎‎1‎‎4π.‎ ‎4.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎10‎ B.‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎11‎ D.‎1‎‎8‎〚导学号74920353〛‎ 答案A 解析试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成所求事件的区域长度为1 min,故所求的概率为‎1‎‎10‎.‎ ‎5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎2‎‎3‎〚导学号74920354〛‎ 答案C 解析如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C、F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为‎1+2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15‎2‎ m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎‎3‎‎8‎ C.‎3π‎16‎ D.‎12+3π‎32‎〚导学号74920355〛‎ 答案B 解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为‎60‎‎160‎‎=‎‎3‎‎8‎.‎ ‎7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sinπx‎4‎的值介于-‎1‎‎2‎与‎2‎‎2‎之间的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ 答案D 解析∵-1≤x≤1,∴-π‎4‎‎≤πx‎4‎≤‎π‎4‎.‎ 由-‎1‎‎2‎≤sinπx‎4‎‎≤‎‎2‎‎2‎,得-π‎6‎‎≤πx‎4‎≤‎π‎4‎,则-‎2‎‎3‎≤x≤1.‎ 故所求事件的概率为‎1-‎‎-‎‎2‎‎3‎‎1-(-1)‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ ‎8.‎ 如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为　　　　　. ‎ 答案0.18‎ 解析由几何概型可知‎180‎‎1 000‎‎=S阴影S正方形=‎S阴影‎1‎,所以S阴影=0.18.‎ ‎9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎2π 解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,‎ 因此所求概率为‎2‎‎4π‎=‎‎1‎‎2π.‎ ‎10.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则关于x的方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为　　　　　.〚导学号74920356〛 ‎ 答案‎2‎‎3‎ 解析当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有 Δ=(2p‎)‎‎2‎-4(3p-2)≥0,‎x‎1‎‎+x‎2‎=-2p<0,‎x‎1‎x‎2‎‎=3p-2>0,‎‎0≤p≤5,‎解得p≥2或p≤1,‎p>0,‎p>‎2‎‎3‎,‎‎0≤p≤5,‎ 所以‎2‎‎3‎0,‎y>0‎内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎上是增函数的概率为　　　　　.〚导学号74920360〛 ‎ 答案‎1‎‎3‎ 解析作出不等式组x+y-4≤0,‎x>0,‎y>0‎所对应的平面区域如图△AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S△AOB=‎1‎‎2‎×4×4=8.‎ 若f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎上是增函数,‎ 则a>0,‎‎-‎-2b‎2a=ba≤‎1‎‎2‎,‎即a>0,‎a-2b≥0.‎ 则A(0,4),B(4,0),由a+b-4=0,‎a-2b=0‎得a=‎8‎‎3‎,‎b=‎4‎‎3‎.‎即C‎8‎‎3‎‎,‎‎4‎‎3‎.‎ 则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎上为增函数的点(a,b)所构成的区域为△OBC,其面积为‎1‎‎2‎×4×‎4‎‎3‎‎=‎‎8‎‎3‎.故所求的概率为‎8‎‎3‎‎8‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎15.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为　　　　　.〚导学号74920361〛 ‎ 答案‎1‎‎4‎ 解析如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=‎1‎‎2‎,且点M在BD上时,‎ 满足∠AMB≥90°,‎ 故所求概率为BDBC‎=‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是　　　　　.〚导学号74920362〛 ‎ 答案‎7‎‎8‎ 解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.‎ 根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为‎1×1-‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×‎‎1‎‎2‎‎1×1‎‎=‎‎7‎‎8‎.‎ 高考预测 ‎17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组x-y≥0,‎x+y≥0,‎y≥2x-6‎表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为　　　　　.〚导学号74920363〛 ‎ 答案π‎24‎ 解析分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为‎1‎‎4‎π(‎2‎)2=π‎2‎,平面区域N的面积为‎1‎‎2‎×3×2+‎1‎‎2‎×3×6=12,故所求的概率为‎1‎‎2‎π‎12‎‎=‎π‎24‎.‎