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  • 2021-06-19 发布

2015年数学理高考课件6-6 直接证明与间接证明

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[ 最新考纲展示 ]   1 . 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.  2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法;了解反证法的思考过程、特点. 第六节 直接证明与间接证明 直接证明 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法,综合法的特点是从已知看可知,逐步推出未知.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.分析法是从未知看需知,逐步靠拢已知.当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,把证明转化为判定这些条件是否具备的问题. 答案: C 答案: B 间接证明 —— 反证法 假设原命题 ( 即在原命题的条件下,结论不成立 ) ,经过正确的推理,最后得出 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法. 不成立 矛盾 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 应用反证法证题时必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.所谓矛盾主要是指: (1) 与已知条件矛盾; (2) 与假设矛盾; (3) 与定义、公理、定理矛盾; (4) 与公认的简单事实矛盾; (5) 自相矛盾. 答案: D 4 .用反证法证明命题: “ a , b ∈ N * , ab 可被 5 整除,那么 a 、 b 中至少有一个能被 5 整除 ” 时,假设的内容应为 ________ . 答案: a 、 b 都不能被 5 整除 综合法的应用 反思总结 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适应范围是: (1) 定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式. (2) 已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱. 分析法的应用 反思总结 分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法,注意用分析法证题时,一定要严格按照格式书写. 反证法的应用 【 例 3】  设 { a n } 是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和. (1) 求证:数列 { S n } 不是等比数列; (2) 数列 { S n } 是等差数列吗?为什么? [ 解析 ]   (1) 证明:若 { S n } 是等比数列,则 S = S 1 · S 3 ,即 a (1 + q ) 2 = a 1 · a 1 (1 + q + q 2 ) , ∵ a 1 ≠ 0 , ∴ (1 + q ) 2 = 1 + q + q 2 ,解得 q = 0 ,这与 q ≠ 0 相矛盾, 故数列 { S n } 不是等比数列. (2) 当 q = 1 时, { S n } 是等差数列. 当 q ≠ 1 时, { S n } 不是等差数列.假设 q ≠ 1 时, S 1 , S 2 , S 3 成等差数列,即 2 S 2 = S 1 + S 3 , 2 a 1 (1 + q ) = a 1 + a 1 (1 + q + q 2 ) . 由于 a 1 ≠ 0 , ∴ 2(1 + q ) = 2 + q + q 2 ,即 q = q 2 , ∵ q ≠ 1 , ∴ q = 0 ,这与 q ≠ 0 相矛盾. 综上可知,当 q = 1 时, { S n } 是等差数列;当 q ≠ 1 时, { S n } 不是等差数列. 反思总结 反证法是解决某些 “ 疑难 ” 问题的有力工具,它的适用范围为: (1) 否定性命题; (2) 命题的结论中出现 “ 至少 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 唯一 ” 等词语; (3) 命题成立非常明显,直接证明所用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明; (4) 要讨论的情况很复杂,而反面情况很少. —— 直接证明问题的综合应用 在实际证明问题时,我们往往同时从已知条件与结论出发,寻求它们之间的联系.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决. [ 教你快速规范审题 ] 1 .审条件,挖解题信息 2 .审结论,明解题方向 3 .建联系,找解题突破口 ___________________ [ 教你一个万能模板 ] ____________________ 本小节结束 请按 ESC 键返回