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- 2021-06-19 发布
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[
最新考纲展示
]
1
.
了解直接证明的两种基本方法
——
分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.
2.
了解间接证明的一种基本方法
——
反证法;了解反证法的思考过程、特点.
第六节 直接证明与间接证明
直接证明
____________________[
通关方略
]____________________
综合法与分析法是直接证明的两种基本方法,综合法的特点是从已知看可知,逐步推出未知.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.分析法是从未知看需知,逐步靠拢已知.当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,把证明转化为判定这些条件是否具备的问题.
答案:
C
答案:
B
间接证明
——
反证法
假设原命题
(
即在原命题的条件下,结论不成立
)
,经过正确的推理,最后得出
,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.
不成立
矛盾
____________________[
通关方略
]____________________
应用反证法证题时必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.所谓矛盾主要是指:
(1)
与已知条件矛盾;
(2)
与假设矛盾;
(3)
与定义、公理、定理矛盾;
(4)
与公认的简单事实矛盾;
(5)
自相矛盾.
答案:
D
4
.用反证法证明命题:
“
a
,
b
∈
N
*
,
ab
可被
5
整除,那么
a
、
b
中至少有一个能被
5
整除
”
时,假设的内容应为
________
.
答案:
a
、
b
都不能被
5
整除
综合法的应用
反思总结
用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适应范围是:
(1)
定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式.
(2)
已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.
分析法的应用
反思总结
分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法,注意用分析法证题时,一定要严格按照格式书写.
反证法的应用
【
例
3】
设
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列,
S
n
是它的前
n
项和.
(1)
求证:数列
{
S
n
}
不是等比数列;
(2)
数列
{
S
n
}
是等差数列吗?为什么?
[
解析
]
(1)
证明:若
{
S
n
}
是等比数列,则
S
=
S
1
·
S
3
,即
a
(1
+
q
)
2
=
a
1
·
a
1
(1
+
q
+
q
2
)
,
∵
a
1
≠
0
,
∴
(1
+
q
)
2
=
1
+
q
+
q
2
,解得
q
=
0
,这与
q
≠
0
相矛盾,
故数列
{
S
n
}
不是等比数列.
(2)
当
q
=
1
时,
{
S
n
}
是等差数列.
当
q
≠
1
时,
{
S
n
}
不是等差数列.假设
q
≠
1
时,
S
1
,
S
2
,
S
3
成等差数列,即
2
S
2
=
S
1
+
S
3
,
2
a
1
(1
+
q
)
=
a
1
+
a
1
(1
+
q
+
q
2
)
.
由于
a
1
≠
0
,
∴
2(1
+
q
)
=
2
+
q
+
q
2
,即
q
=
q
2
,
∵
q
≠
1
,
∴
q
=
0
,这与
q
≠
0
相矛盾.
综上可知,当
q
=
1
时,
{
S
n
}
是等差数列;当
q
≠
1
时,
{
S
n
}
不是等差数列.
反思总结
反证法是解决某些
“
疑难
”
问题的有力工具,它的适用范围为:
(1)
否定性命题;
(2)
命题的结论中出现
“
至少
”
、
“
至多
”
、
“
唯一
”
等词语;
(3)
命题成立非常明显,直接证明所用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明;
(4)
要讨论的情况很复杂,而反面情况很少.
——
直接证明问题的综合应用
在实际证明问题时,我们往往同时从已知条件与结论出发,寻求它们之间的联系.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.
[
教你快速规范审题
]
1
.审条件,挖解题信息
2
.审结论,明解题方向
3
.建联系,找解题突破口
___________________
[
教你一个万能模板
]
____________________
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